Уравнение вида

ax2 + bx + c = 0

(1)

где, a , b , c - действительные числа, причем a ¹ 0 , называют квадратным уравнением. Если a = 1 , то квадратное уравнение называют приведенным; если a ¹ 1 , - то неприведенным. Числа a , b , c носят следующие названия a - первый коэффициент, b - второй коэффициент, c - свободный член.
   Корни уравнения ax 2 + bx + c =0 находят по формуле

(2)

   Выражение D = b 2 - 4 ac называют дискриминантом квадратного уравнения. Если D < 0, то уравнение не имеет действительных корней; если D = 0, то уравнение имеет один действительный корень; если D > 0, то уравнение имеет два действительных корня.
   В случае, когда D = 0 , иногда говорят, что квадратное уравнение имеет два одинаковых корня.
   Используя обозначение D = b 2 - 4 ac , можно переписать формулу (2) в виде

   Если b = 2 k , то формула (2) принимает вид:

  Итак,

где k = b / 2 .
   Последняя формула особенно удобна в тех случаях, когда b / 2 - целое число, т.е. коэффициент b - четное число.
   Пример 1: Решить уравнение 2 x 2 -   5 x  +   2   =   0 .   Здесь a = 2, b = -5, c = 2. Имеем =  b 2 -   4 ac  =   (-5) 2-   4*2*2   =   9 . Так как >   0 , то уравнение имеет два корня. Найдем их по формуле (2)

   Итак x 1 =( 5 + 3 ) / 4 = 2,    x 2 =( 5 - 3 ) / 4 = 1 / 2 ,
то есть x 1   =   2 и x 2   =   1   /   2 - корни заданного уравнения.
   Пример 2: Решить уравнение 2 x 2 - 3 x + 5 = 0 .   Здесь a = 2, b = -3, c = 5. Находим дискриминант =  b 2 -   4 ac  =   (-3) 2- 4*2*5 = -31 . Так как <   0 , то уравнение не имеет действительных корней.

   Неполные квадратные уравнения. Если в квадратном уравнении ax 2 + bx + c =0 второй коэффициент b или свободный член c равен нулю, то квадратное уравнение называется неполным. Неполные уравнения выделяют потому, что для отыскания их корней можно не пользоваться формулой корней квадратного уравнения - проще решить уравнение методом разложения его левой части на множители.
   Пример 1: решить уравнение 2 x 2 - 5 x = 0 .
   Имеем x (2 x - 5) = 0 . Значит либо x = 0 , либо 2 x - 5 = 0 , то есть =   2.5 . Итак, уравнение имеет два корня: 0 и 2.5
   Пример 2: решить уравнение 3 x 2 - 27 = 0 .
   Имеем 3 x 2 = 27 . Следовательно корни данного уравнения - 3 и -3.

   Теорема Виета.    Если приведенное квадратное уравнение x 2 + px + q =0 имеет действительные корни, то их сумма равна - p , а произведение равно q , то есть

x 1 + x 2 = -p ,
x 1 x 2 = q

(сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену).