Основные определения и обозначения для векторов в пространстве вводятся так же, как и для векторов на плоскости.

Вектором называется отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой - концом. Любая точка пространства рассматривается как нулевой вектор.


рис. 63
- нулевой вектор, обозначается .

Длина вектора обозначается ||.

Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной или на параллельных прямых.

Пусть два ненулевых вектора и коллинеарны. Если при этом лучи АВ и СD сонаправлены, то и называются сонаправленными, а если эти лучи не являются сонаправленными, то векторы и называются противоположно направленными.

Нулевой вектор условимся считать сонаправленным с любым вектором. Запись означает, что векторы и сонаправлены, а запись - что векторы с и d противоположно направлены.


рис. 64
Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны.

От любой точки можно отложить вектор, равный данному, и притом только один.

Действия над векторами.

  1. Сложение векторов по правилу треугольника:

    рис. 65
    для этого нужно от произвольной точки пространства отложить вектор , равный , затем от точки В отложить вектор , равный .

    Вектор называется суммой и .

    Таким образом +=, для любых трех точек А, В и С.


  2. Сложение векторов по правилу параллелограмма:

    рис. 66
    для этого векторы откладывают от одной точки.

    Два ненулевых вектора называются противоположными, если их длины равны и они противоположно направлены.

  3. Вычитание векторов:

    рис. 67
    Разностью векторов и называется такой вектор, сумма которого с вектором равна вектору .

    Разность - можно найти по формуле - = + (-), где (-) - вектор, противоположный вектору .

    -=.

    Сумма нескольких векторов в пространстве вычисляется так же, как и на плоскости и не зависит от порядка слагаемых.

  4. Умножение вектора на число. Произведением ненулевого вектора на число k называется такой вектор , длина которого равна |k|·||, причем векторы и сонаправлены при k0 и противоположно направлены при k<0. Произведением нулевого вектора на произвольное число считается нулевой вектор.

    Произведение вектора на число k обозначается так: k. Из определения произведения вектора на число следует, что для любого числа k и любого вектора векторы и k коллинеарны. Из этого же определения следует, что произведение любого вектора на число нуль есть нулевой вектор.

    Для любых векторов , и любых чисел k, l справедливы равенства:

    (kl) = k(l) (сочетательный закон);

    k( + ) = k + k (первый распределительный закон);

    (к+l) = k + l (второй распределительный закон).

Лемма. Если векторы и коллинеарны и вектор не равен нулевому вектору, то существует число k такое, что вектор равен k.

Векторы называются компланарными, если при откладывании от одной и той же точки они будут лежать в одной плоскости. Ясно, что любые два коллинеарных вектора компланарны; три вектора, среди которых имеется два коллинеарных, также компланарны, а три произвольных вектора могут быть как компланарными, так и некомпланарными.

Если вектор можно представить в виде = х + у, где х и у - некоторые числа, то векторы , и компланарны.


рис. 68
Для сложения трёх некомпланарных векторов можно пользоваться так называемым правилом параллелепипеда. Опишем его.

Пусть , , - некомпланарные векторы. Отложим от произвольной точки О пространства векторы =, =, = и построим параллелепипед так, чтобы отрезки ОА, ОВ и ОС были рёбрами.

Тогда если ОD - диагональ этого параллелепипеда, то = + + .

Действительно, .

Теорема. Любой вектор можно разложить по трём данным некомпланарным векторам, причём коэффициенты разложения определяются единственным образом.

Если , , - некомпланарные векторы, то любой вектор можно представить в виде:

= х + у + z,

где х, у, z - числа.



Рекомендации к теме

На основании изученного в базовой школе материала о векторах на плоскости, Вы получаете сведения о действиях с векторами в пространстве, должны научиться применять координатный и векторный методы к решению задач на нахождение длин отрезков и углов между прямыми и векторами в пространстве. В ходе изучения темы целесообразно использовать аналогию между рассматриваемыми понятиями на плоскости и в пространстве. Это поможет Вам более глубоко и осознанно усвоить изучаемый материал, уяснить содержание и место векторного и координатного методов в курсе геометрии.