рис. 69

Если через некоторую точку пространства проведены три попарно перпендикулярные прямые, на каждой из них выбрано направление (оно обозначается стрелкой) и выбрана единица измерения отрезков, то говорят, что задана прямоугольная система координат в пространстве.

Ох, Оу, Оz - оси абсцисс, ординат и аппликат. Координаты точки М записываются так: М (х; у; z).

рис. 70
Зададим в пространстве прямоугольную систему координат Оxyz. На каждой из положительных полуосей отложим от начала координат единичные векторы (длины которых равны единице):
.


Эти векторы назовем координатными векторами, они не компланарны. Поэтому любой вектор а можно разложить по координатным векторам, т.е. представить в виде:


причем коэффициенты разложения х, у, z определяются единственным образом.

Коэффициенты x, y и z в разложении называются координатами вектора в данной системе координат.

Координаты вектора будем записывать в фигурных скобках после обозначения вектора: {x ; y ; z}.

Координаты равных векторов равны.

Правила действия над векторами.

  1. Каждая координата суммы двух или более векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов. Если + = , то {x1+x2; y1+y2; z1+z2}; где {x1; y1; z1}, {x2; y2; z2}.
  2. Каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат этих векторов. Если - = , то {x1-x2; y1-y2; z1-z2}.
  3. Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты вектора на это число. Если k = , то {kx1; ky1; kz1}.

Координаты любой точки D в прямоугольной системе координат Оxyz равны соответствующим координатам вектора .

Т.о. если A(x; y; z), то {x ; y ; z}.

А т.к. = - , то каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и начала.

Простейшие задачи в координатах.

  1. Координаты середины отрезка.

    рис. 71

    Таким образом, каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат его концов.


  2. Вычисление длины вектора по его координатам.



  3. Расстояние между двумя точками. M1{x1; y1; z1}, M2(x2; y2; z2), тогда


Рекомендации к теме

На основании изученного в базовой школе материала о векторах на плоскости, Вы получаете сведения о действиях с векторами в пространстве, должны научиться применять координатный и векторный методы к решению задач на нахождение длин отрезков и углов между прямыми и векторами в пространстве. В ходе изучения темы целесообразно использовать аналогию между рассматриваемыми понятиями на плоскости и в пространстве. Это поможет Вам более глубоко и осознанно усвоить изучаемый материал, уяснить содержание и место векторного и координатного методов в курсе геометрии.