рис. 72
Чтобы определить угол между векторами, отложим их от одной точки О.

Если и не сонаправлены, то угол АОВ равен углу (; ).

Если , то угол (; ) = 0o.

Если , то угол (; ) = 180o.

Определение. Два вектора называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90o.

Определение. Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению их длин на косинус угла между ними.

Скалярное произведение векторов и обозначается так: .

Т.о., по определению

= || || cos ()     (1)

Скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны.

Из формулы (1) также следует, что скалярное произведение ненулевых векторов и положительно (отрицательно) тогда и только тогда, когда < 90o ( > 90o).

Скалярное произведение называется скалярным квадратом вектора и обозначается 2. Таким образом скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины.

Теорема. Скалярное произведение векторов {x1; y1; z1} и {x2; y2; z2} выражается формулой

= x1x2+ y1y2+ z1z2

Следствие 1. Ненулевые векторы {x1; y1; z1} и {x2; y2; z2} перпендикулярны тогда и только тогда, когда x1x2+ y1y2+ z1z2 = 0.

Следствие 2. Косинус угла между ненулевыми векторами {x1; y1; z1} и {x2; y2; z2} выражается формулой

Cвойства скалярного умножения векторов.

  1. 20, причём 2 > 0 при .

  2. = (переместительный закон).

  3. ( + ) = + (распределительный закон).

  4. (k) = k() (сочетательный закон).

Рекомендации к теме

На основании изученного в базовой школе материала о векторах на плоскости, Вы получаете сведения о действиях с векторами в пространстве, должны научиться применять координатный и векторный методы к решению задач на нахождение длин отрезков и углов между прямыми и векторами в пространстве. В ходе изучения темы целесообразно использовать аналогию между рассматриваемыми понятиями на плоскости и в пространстве. Это поможет Вам более глубоко и осознанно усвоить изучаемый материал, уяснить содержание и место векторного и координатного методов в курсе геометрии.