При решении логарифмических уравнений и неравенств пользуются свойствами логарифмов, а также свойствами логарифмической функции

y=logax, a > 0, a 1:

1) Область определения:  x > 0;

2) Область значений:  yR;

3)  logax1=logax2x1=x2;

4) При a>1 функция y=logax возрастает, при 0 < a < 1 функция y=logax убывает при всех x > 0, т.е.

a >1  и logax1>logax2x1>x2,
0 < a < 1 и logax1>logax2x1 < x2;

При переходах от логарифмических уравнений (неравенств) к уравнениям (неравенствам), не содержащим знака логарифма, следует учитывать область допустимых значений (ОДЗ) исходного уравнения (неравенства).

Рекомендации к теме

При решении логарифмических уравнений во многих случаях приходится использовать свойства логарифма произведения, частного, степени. В тех случаях, когда в одном логарифмическом уравнении имеются логарифмы с различными основаниями, применение указанных свойств возможно лишь после перехода к логарифмам с равными основаниями.

Кроме того, решение логарифмического уравнения следует начинать с нахождения области допустимых значений (О.Д.З.) заданного уравнения, т.к. в процессе решения возможно появление посторонних корней. Завершая решение, не забудьте проверить найденные корни на принадлежность О.Д.З.

Решать логарифмические уравнения можно и без использования О.Д.З. В этом случае проверка является обязательным элементом решения.

Примеры.

Решить уравнения:

a) log3(5х – 1) = 2.

Решение:

ОДЗ: 5х – 1 > 0; х > 1/5.
log3(5х– 1) = 2,
log3(5х – 1) = log332,
5х - 1 =9,
х = 2.

Ответ: 2.

б) log2(х – 5) + log2(х + 2) = 3.

Решение:

ОДЗ:

log2(х– 5) + log2(х + 2) = 3,
log2((х– 5)(х + 2)) = log223,
(х – 5)(х + 2) = 8,
х2 – 3х – 18 = 0,
х1 = 6 (5; +);
х2= –3 (5; +),

следовательно, х= -3 - посторонний корень.

Ответ: 6.

в) log2х – 2 logх2 = –1

Решение:

ОДЗ: x > 0, х ≠ 1

Используя формулу перехода к новому основанию, получим

Обозначим

Ответ: