При решении логарифмических уравнений и неравенств пользуются свойствами логарифмов, а также свойствами логарифмической функции

y=logax, a > 0, a 1:

1) Область определения:  x > 0;

2) Область значений:  yR;

3)  logax1=logax2x1=x2;

4) При a>1 функция y=logax возрастает, при 0 < a < 1 функция y=logax убывает при всех x > 0, т.е.

a >1  и logax1>logax2x1>x2,
0 < a < 1 и logax1>logax2x1 < x2;

При переходах от логарифмических уравнений (неравенств) к уравнениям (неравенствам), не содержащим знака логарифма, следует учитывать область допустимых значений (ОДЗ) исходного уравнения (неравенства).

Рекомендации к теме

Решение логарифмических неравенств основано на монотонности логарифмической функции. При решении логарифмических неравенств, нахождение области допустимых значений (О.Д.З.) заданного неравенства в большинстве случаев является нецелесообразным. Обычно условия, задающие О.Д.З. неравенства, подключают к тому неравенству, которое является следствием заданного неравенства, и решают затем полученную систему.

Можно также использовать метод интервалов.

 Примеры.

 Решить неравенство:

а) log3 (х + 2) < 3

Решение:

D (logа) =R+,

следовательно х + 2 > 0.

Функция y=log2t возрастающая, следовательно, 0 < х + 2 < 27, -2< х < 25.

Ответ: (-2; 25)

б)

следовательно, функция

возрастает на промежутке

(0; +).

Данное неравенство равносильно системе:

Неравенство х2 – 3х – 10≥ 0 решим методом интервалов

х1 = 5 ; х2 = –2
(х – 5)(х + 2) ≥ 0

Ответ: [5; +).