Простейшие тригонометрические уравнения.

1. sinx = a, |a| 1

x = (–1 ) k arcsin a + k , k

Частные случаи:

a = –1 a = 0 a = 1
sinx = –1 sin x = 0 sin x =
x = – + 2 k , k x = k , k x = + 2 k , k
| a| >1 корней нет

2. cos x = a , |a| 1

x = ± arccos a + 2 k , k

Частные случаи:

a = –1 a = 0 a = 1

cos x = –1 cos x = 0 cos x = 1
x = + 2 k , k x = + k , k x = 2 k , k
|a| >1 корней нет

3. tg x = a , a
x = ± arctg a + k , k

Основные типы тригонометрических уравнений.

  1. Уравнения, сводящиеся к простейшим.
  2. Уравнения, сводящиеся к квадратным.
  3. Однородные уравнения: asinx + bcosx = 0,    a sin 2 x + b sinxcosx + c cos 2 x = 0.
  4. Уравнения вида a sinx + b cosx = с , с ≠ 0.

  5. Уравнения, решаемые разложением на множители.
  6. Нестандартные уравнения.

Рекомендации к теме

Основными методами решения тригонометрических уравнений являются: сведение уравнений к простейшим (с использованием тригонометрических формул), введение новых переменных, разложение на множители. Рассмотрим их применение на примерах. Обратите внимание на оформление записи решений тригонометрических уравнений.

Необходимым условием успешного решения тригонометрических уравнений является знание тригонометрических формул (тема 13 работы 6).

Примеры.

1. Уравнения, сводящиеся к простейшим.

1) Решить уравнение

Решение:

Ответ:

2) Найти корни уравнения

( sinx + cosx ) 2 = 1 – sinxcosx, принадлежащие отрезку [0; 2 ].

Решение:

Ответ:

2. Уравнения, сводящиеся к квадратным.

1) Решить уравнение 2 sin 2 x – cosx –1 = 0.

Решение: Используя формулу sin 2 x = 1 – cos 2 x, получаем

Ответ:

2) Решить уравнение cos 2x = 1 + 4 cosx.

Решение: Используя формулу cos 2x = 2 cos 2 x – 1, получаем

Ответ:

.

3) Решить уравнение tgx – 2ctgx + 1 = 0

Решение:

Ответ:

.

3. Однородные уравнения 

1) Решить уравнение 2sinx – 3cosx = 0

Решение: Пусть cosx = 0, тогда 2sinx = 0 и sinx = 0 – противоречие с тем, что sin 2 x + cos 2 x = 1. Значит cosx ≠ 0 и можно поделить уравнение на cosx. Получим

Ответ:

.

2) Решить уравнение 1 + 7 cos 2 x = 3 sin 2x

Решение:

Используем формулы 1 = sin 2 x + cos 2 x и sin 2x = 2 sinxcosx, получим

sin 2 x + cos 2 x + 7cos 2 x = 6sinxcosx
sin 2 x – 6sinxcosx+ 8cos 2 x = 0

Пусть cosx = 0, тогда sin 2 x = 0 и sinx = 0 – противоречие с тем, что sin 2 x + cos 2 x = 1.
Значит cosx ≠ 0 и можно поделить уравнение на cos 2 x. Получим

tg 2 x – 6 tgx + 8 = 0
Обозначим tgx = y
y 2 – 6 y + 8 = 0
y1 = 4; y2 = 2
а ) tgx = 4, x= arctg4 + 2 k , k
б ) tgx = 2, x= arctg2 + 2 k , k .

Ответ : arctg4 + 2 k , arctg2 + 2 k, k

4. Уравнения вида a sinx + b cosx = с, с ≠ 0.

1) Решить уравнение .

Решение:

Ответ:

.

5. Уравнения, решаемые разложением на множители.

1) Решить уравнение sin2x – sinx = 0.

Решение: Используя формулу sin2x = 2sinxcosx, получим

2sinxcosx – sinx = 0,

sinx (2cosx – 1) = 0.

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

Ответ:

.

2) Решить уравнение sin2x – sinx = 2cosx – 1

Решение: Применим формулу sin2x = 2sinxcosx, получим

2sinxcosx – sinx = 2cosx – 1

sinx (2cosx – 1) = 2cosx – 1

sinx (2cosx – 1) – (2cosx – 1) = 0

(2cosx – 1) ( sinx –1) = 0

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

Ответ:

.

6. Нестандартные уравнения.

Решить уравнение cosx = х 2 + 1.

Решение:

Рассмотрим функции

Корнем уравнения f ( х ) = φ ( х ) может служить только число 0. Проверим это:

cos 0 = 0 + 1 – равенство верно.

Число 0 единственный корень данного уравнения.

Ответ: 0.