Неравенства : sin x > a, sin x a, sin x < a, sin x a

Sin x > a arcsin a + 2 n < x < – arcsin a + 2 n, n Z

= arcsin a; = – arcsin a.

sin x<a – arcsin a + 2 n<x< arcsin a + 2 n, n Z

= – – arcsin a ; = arcsin a.

В случае нестрогих неравенств знаки < и > в решениях заменяются соответственно на и .

Во всех приведенных здесь формулах n Z.

Неравенства:

cos x> a; cos x a; cos x < a; cos x a.

В случае нестрогих неравенств знаки < и > в решениях заменяются соответственно на и .

Во всех приведенных здесь формулах n Z.

Неравенства:

tg x > a; tg x a; tg x < a; tg x a.

Рекомендации к теме

Решение неравенств, содержащих тригонометрические функции, сводится, как правило, к решению простейших неравенств вида sin t > a, cos t a, tg t a и т.п.

Простейшие тригонометрические уравнения решаются при помощи единичной окружности или графика соответствующей тригонометрической функции.

Следует обратить внимание на область определения функций у= tg t : решения нестрогих неравенств не всегда получаются из решений соответствующих строгих неравен ств пр осто заменой знаков > и < на знаки и .

Рассмотрим на примерах способы решений тригонометрических неравенств.

Примеры.

1.Решить неравенство cos x 1/2.

Решение: Абсциссу, не большую 1/2, имеют все точки дуги М1ММ2 единичной окружности (см. рисунок).

Поэтому решениями неравенства cos x 1/2 являются числа х, принадлежащие промежутку /3 х 5/3. Все решения данного неравенства – множество отрезков [/3 +2n ; 5/3+2n ], n Z.

Ответ: [/3 +2n ; 5/3+2n ], n Z.

2.Решить неравенство tg x > 1.

Решение: Построим графики функций у = tg x и у = 1.

Рисунок показывает, что график функции у = tg x лежит выше прямой у=1 на промежутке (/4;/2), а также на промежутках, полученных сдвигами его наn, где n Z.

Ответ: (/4+n ; /2 +n ), где n Z.