Определение: Производной функции f(x) (f'(x0)) в точке x0  называется число, к которому стремится разностное отношение , стремящемся к нулю.

Производные элементарных функций.

Правила дифференцирования.

Если у функций  f(x) и  g(x) существуют производные, то

Производная сложной функции:

Геометрический смысл производной. Производная в точке x0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции  y=f(x) в этой точке

Уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке x0 :

Физический смысл производной.

Если точка движется вдоль оси х и ее координата изменяется по закону  x(t), то мгновенная скорость точки:

Рекомендации к теме

Изучив теоретические материалы по данной теме, вы должны знать понятие производной функции, понимать геометрический и физический смысл производной, уметь применять их для решения задач, уметь находить производные функций, пользуясь таблицей производных и правилами дифференцирования.

Примеры.

1. Найти значение производной функции

Решение.

Найдем производную данной функции по правилу дифференцирования сложной функции:

Ответ:.

2. Составить уравнение касательной к графику функции y=x+e-2x, параллельной прямой y=-x

Решение.

Угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке касания x0. Т.к. касательная параллельна прямой y=-x, значит ее угловой коэффициент равен –1.Таким образом,  f'(x0)=-1.

Уравнение касательной:

Уравнение касательной: y=1-1(x-0)=1-x

Ответ: y=1-x.

3. На параболе у=х2-2х-8 найти точку М, в которой касательная к ней параллельна прямой 4х+у+4=0.

Решение.

Определим угловой коэффициент касательной к параболе у=х2-2х-8:

k =у'=(х2-2х-8)'=2х-2.

Найдем угловой коэффициент прямой 4х+у+4=0:

у=-4х-4, k =-4.

Касательная к параболе и данная прямая по условию параллельны. Следовательно, их угловые коэффициенты равны, т.е.

2х-2=-4;

х=-1 – абсцисса точки касания.

Ординату точки касания М вычислим из уравнения данной параболы у=х2-2х-8, т.е.

у(-1)=(-1)2-2(-1)-8=-5, М(-1;-5).

Ответ: М(-1;-5).