Достаточное условие возрастания функции

Если в каждой точке интервала (a, b) f'(x)>0, то функция  f(x) возрастает на этом интервале.

Достаточное условие убывания функции.


Если в каждой точке интервала (a, b) f'(x)<0, то функция  f(x) убывает на этом интервале.

Определение:

x0 называется критической точкой функции  f(x), если

1) x0 – внутренняя точка области определения  f(x) ;

2) f'(x0)=0 или f'(x0) не существует.

Необходимое условие экстремума:

Если x0– точка экстремума функции  f(x), то эта точка является критической точкой данной функции.

Достаточное условие экстремума:

Если при переходе через точку x0 производная функции меняет знак, то x0 – точка экстремума функции  f(x).

Примеры экстремумов:

Схема исследования функции.

  1. Найти область определения функции.
  2. Проверить, не является ли функция четной или нечетной; проверить также, не является ли она периодической.
  3. Найти, если это возможно, точки пересечения графика функции с осями координат и промежутки знакопостоянства функции. Иногда для уточнения построения графика следует найти две три дополнительные точки.
  4. Найти производную функции и ее критические точки.
  5. Найти промежутки монотонности и экстремумы функции.
  6. Построить график функции, используя полученные результаты исследования.

Схема нахождения наибольшего и наименьшего значений функции f(x), непрерывной на отрезке [a; b].

  1. Найти значения функции в концах отрезка, т.е. f(a) и f(b) ;
  2. Найти значения функции в тех критических точках, которые принадлежат интервалу (a,b) ;
  3. Из найденных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

Рекомендации к теме

Проработав данную тему, Вы должны научиться применять производную для исследования функций на монотонность и экстремумы, для нахождения наибольших и наименьших значений функций. Рассмотрим решение подобных задач на следующих примерах. Обратите внимание, что решение всегда начинается с нахождения области определения исследуемой функции.

Примеры.

1. Найти промежутки убывания и возрастания функции

Решение:

4)

(для определения знаков производной использовали метод интервалов)

Ответ: при функция убывает, при функция возрастает.

2. Исследовать функцию f(x)=x3-3x2+4  с помощью производной и построить ее график.

Решение:


4)

x=0 – точка максимума, x=2 – точка минимума.

5) f(0)=4; f(2)=0

Используя результаты исследования, строим график функции : f(x)=x3-3x2+4

3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции  на отрезке

Решение:

3) Из чисел и 4 наибольшее , наименьшее 4.

Ответ:

4.Найти длины сторон прямоугольника с периметром 20см, имеющего наименьшую диагональ.

Решение:

Пусть а и в длины сторон прямоугольника, d - его диагональ. Тогда a+b=10. По теореме Пифагора d2=a2+b2. По условию задачи a>0,b>0. b=10-a>0, значит 0 < a < 10.
d2=a2+(10-a)2=2a2-20a+100, 0< a < 10.

Таким образом, задача свелась к нахождению такого значения  а, при котором функция  d(a)=2a2-20a+100  принимает наименьшее значение на интервале  0 < a <10.

Найдем производную d'(a)=4a-20.

Критическая точка .

a=5 точка минимума. Следовательно, наименьшее значение функция d(a) на интервале (0;10) принимает в точке a=5. При этом b=5.

Ответ: 5см, 5см.