Определение. Функция F (x) называется первообразной для функции f (x) на данном промежутке, если для любого х из данного промежутка F'(x)= f (x).

Основное свойство первообразных.

Если F (x) – первообразная функции f (x), то и функция F (x)+ C , где C –произвольная постоянная, также является первообразной функции f (x) (т.е. все первообразные функции f(x) записываются в виде F(x) + С ).

Геометрическая интерпретация.

Графики всех первообразных данной функции f (x) получаются из графика какой-либо одной первообразной параллельными переносами вдоль оси Оу.

Таблица первообразных.

Правила нахождения первообразных .

Пусть F(x) и G(x) – первообразные соответственно функций f(x) и g(x). Тогда:

1.  F ( x ) ± G ( x ) – первообразная для f ( x ) ± g ( x );

2.   а F ( x ) – первообразная для а f ( x );

3. – первообразная для а f ( kx + b ).

Рекомендации к теме

Изучив данную тему, Вы должны знать, что называется первообразной, ее основное свойство, геометрическую интерпретацию, правила нахождения первообразных; уметь находить все первообразные функций с помощью таблицы и правил нахождения первообразных, а также первообразную, проходящую через заданную точку. Рассмотрим решение задач по данной теме на примерах. Обратите внимание на оформление решений.

Примеры.

1.  Выяснить, является ли функция F (x) = х 3 – 3х + 1 первообразной для функции f(x) = 3(х 2 – 1).

Решение: F'(x) = (х 3 – 3х + 1)′ = 3х 2 – 3 = 3(х 2 – 1) = f(x), т.е. F'(x) = f(x), следовательно, F(x)является первообразной для функции f(x).

2. Найти все первообразные функции f(x) :

а) f(x) = х 4 + 3х 2 + 5

Решение: Используя таблицу и правила нахождения первообразных, получим:

Ответ:

б ) f(x) = sin(3x – 2)

Решение:

Ответ:

в)

Решение:

Ответ:

3. Для функции f(x) = 4 – х 2 найти первообразную, график которой проходит через точку (-3; 10).

Решение:

1) Найдем все первообразные функции f(x):

2) Найдем число С , такое, чтобы график функции проходил через точку (-3; 10). Подставим х = – 3, y = 10 , получим:

Следовательно, .

Ответ: