Иррациональными называются уравнения, в которых переменная содержится под знаком корня.

Иррациональное уравнение, как правило, сводится к равносильной системе, содержащей уравнения и неравенства.

1. 

Из двух систем выбирают ту, которая решается проще.

2. 

Если а < 0, уравнение не имеет корней.

Если , уравнение равносильно уравнению .

3.  

Иррациональные уравнения могут быть также решены путем возведения обеих частей уравнения в натуральную степень. При возведении уравнения в степень могут появится посторонние корни. Поэтому необходимой частью решения иррационального уравнения является проверка.

Рекомендации к теме

При решении иррациональных уравнений, как правило, используют следующие методы:
1) переход к равносильной системе (в этом случае проверка не нужна);
2) метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень;
3) метод введения новых переменных.

Если вы не следите за равносильностью переходов, то проверка является обязательным элементом решения. О.Д.З. в иррациональных уравнениях не поможет Вам отсеять все посторонние корни. Обратите на это внимание!

При решении иррациональных уравнений, как правило, используют следующие методы: 1) переход к равносильной системе (в этом случае проверка не нужна); 2) метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень; 3) метод введения новых переменных.

Примеры.

1.

Решение:

<=> <=> <=> <=>
<=> x = -1

Ответ: -1.

2. 

Решение:

<=> <=> <=>
<=><=>

Ответ: 14.

3. 

Решение: ОДЗ:

Возведем обе части уравнения в квадрат:

Возведем обе части уравнения в квадрат:

х = 6 входит в ОДЗ, значит может быть корнем данного уравнения.

Проверка:

Ответ: 6

4. 

Решение: ОДЗ

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

1)

х1 = 2; х2 = 3. Эти корни входят в ОДЗ.

2)

- входит в ОДЗ

- не входит в ОДЗ

Ответ:

5.

Решение: ОДЗ:

Обозначим = у. Тогда х-3=у2.

у2 + 4у - 12 = 0;

у1 = -6, у2 = 2.

а)=-6. Решений нет, т.к. -6>0, а 0.

б) = 2,
х - 3 = 4,
х = 7 входит в ОДЗ.

Ответ: 7.