Если f (x) f (x0) при х х0, то функцию f (x) называют непрерывной в точке х0.

Если функция непрерывна в каждой точке некоторого промежутка I , то ее называют непрерывной на промежутке I (промежуток I называют промежутком непрерывности функции). График функции на этом промежутке представляет собой непрерывную линию, о которой говорят, что ее можно «нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги».

Свойство непрерывных функций.

Если на интервале (a ; b) функция f непрерывна и не обращается в нуль, то она на этом интервале сохраняет постоянный знак.

На этом свойстве основан метод решения неравенств с одной переменной – метод интервалов. Пусть функция f(x) непрерывна на интервале I и обращается в нуль в конечном числе точек этого интервала. По свойству непрерывных функций этими точками I разбивается на интервалы, в каждом из которых непрерывная функция f(x) c охраняет постоянный знак. Чтобы определить этот знак, достаточно вычислить значение функции f(x) в какой-либо одной точке из каждого такого интервала. Исходя из этого, получим следующий алгоритм решения неравенств методом интервалов.

Метод интервалов для неравенств вида 

Схема решения:

  1. Найти область определения функции f(x) ;
  2. Найти нули функции f(x) ;
  3. На числовую прямую нанести область определения и нули функции. Нули функции разбивают ее область определения на промежутки, в каждом из которых функция сохраняет постоянный знак;
  4. Найти знаки функции в полученных промежутках, вычислив значение функции в какой-либо одной точке из каждого промежутка;
  5. Записать ответ.

Рекомендации к теме

Метод интервалов можно использовать для решения любых неравенств, начиная с линейных и заканчивая сложными дробно-рациональными, логарифмическими, иррациональными неравенствами. Рассмотрим применение этого метода на следующих примерах. Обратите внимание на оформление решений.

Примеры.

1. Решить неравенство

Решение:

Решим неравенство методом интервалов.

Рассмотрим функцию

и найдем множество значений х, при которых

1) Найдем

2) Найдем нули функции:

3)

Если x > 1, например x = 2, то

Если например ,то

Если, например, то

Если x < 0, например x = -1, то

Итак, при .

Ответ:  

2. Решить неравенство .

Решение:

Воспользуемся методом интервалов. Рассмотрим функцию f(x)=x2(2x+1)(x-3) и найдем множество значений х , при которых

1)D(f)=R

2) Найдем нули функции:x2(2x+1)(x-3)=0

3)

3. Решить неравенство

Решение:

Воспользуемся методов интервалов. Рассмотрим функцию f(x)=(3-x)log3(x+5)

и найдем множество значений х , при которых

1) Найдем D(f). Т.к. D(loga)=R+, то x+5 >0; x >-5.

2) Найдем нули функции:(3-x)log3(x+5)=0

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а другие при этом не теряют смысла.

а) 3-x=0, x=3 , при этом определен второй множитель log38.

б) log3(x+5)=0, x+5=1, x=-4.

3)

Если x>3, например, x=4, то

f(4)=-log39=-2<0.

Если -3 < x < 3, например, x = 0, то

f(0)=3log35 > 0.

Если -5< x < -4, например, x = -4,5, то

f(-4,5)=7,5log30,5 < 0