Показательными называются уравнения, в которых неизвестное содержится в показателе степени. Простейшее показательное уравнение имеет вид: ах = аb, где а> 0, а 1, х - неизвестное.

Основные свойства степеней, при помощи которых преобразуются показательные уравнения:  а>0, b>0.

  1. а0 = 1, а1= а.
  2. аm/n= , где m и n– натуральные числа.
  3. a-n = 1/ аn
  4. an × am = an+m
  5. an/am = an-m
  6. (an)m = an-m
  7. (ab)n = an×bn
  8. (a/b)n = an/bn.

При решении показательных уравнений пользуются также следующими свойствами показательной функции: y = ax, a > 0, a1:

  1. ax>0, при всех a>0 и x R;
  2. x1 =x2.

 Для представления числа в виде степени используют основное логарифмическое тождество: b = , a > 0, a1, b > 0.

Рекомендации к теме

Для успешного решения показательных уравнений Вы должны знать основные свойства степеней, свойства показательной функции, основное логарифмическое тождество.

При решении показательных уравнений используют два основных метода:

  1. переход от уравнения af(x) = ag(x) к уравнению f(x) = g(x);
  2. введение новых прямых.

Примеры.

1. Уравнения, сводящиеся к простейшим. Решаются приведением обеих частей уравнения к степени с одинаковым основанием.

3x = 9x – 2.

Решение:

3x = (32)x – 2;
3x = 32x – 4;
x = 2x –4;
x = 4.

Ответ: 4.

2. Уравнения, решаемые с помощью вынесения за скобки общего множителя.

3x = 24.

Решение:

3x – 3x – 2 = 24
3x – 2(32– 1) = 24
3x – 2 × 8 = 24
3x – 2= 3
x – 2 = 1
x = 3.

Ответ: 3.

3. Уравнения, решаемые с помощью замены переменной.

4x + 2x= 12.

Решение:

22x + 2x– 12 = 0
Обозначаем 2x = у.
y2 + y – 12 = 0
y1 = - 4; y2 = 3.
a) 2x = - 4.Уравнение не имеет решений, т.к. 2х> 0.
б) 2x = 3; 2x= 2log23; x = log23.

Ответ: log23.

4. Уравнения, содержащие степени с двумя различными (не сводящимися друг к другу) основаниями.

3 × 2х + 1 - 2 × 5х – 2 = 5х + 2х – 2.

Решение:

3× 2х + 1 – 2х – 2 = 5х – 2 × 5х – 2
2х – 2 ×23 = 5х – 2
×23
2х – 2 = 5х – 2
(5/2)х– 2 = 1
х – 2 = 0
х = 2.

Ответ: 2.

5. Уравнения, однородные относительно ax и bx.

Общий вид: .

9x + 4x= 2,5 × 6x.

Решение:

32x – 2,5 × 2x × 3x+22x = 0    |: 22x > 0
(3/2)2x– 2,5 × (3/2)x + 1 = 0.
Обозначим (3/2)x = y.
y2 – 2,5y + 1 = 0,
y1= 2; y2 = ½.

Ответ: log3/22; - log3/22.