Показательными называются неравенства, в которых неизвестное содержится в показателе степени.

Основные свойства степеней, при помощи которых преобразуются показательные неравенства, перечислены в теоретических материалах по теме 7 «Показательные уравнения».Кроме того, пользуются также следующими свойствами показательной функции у = ах,

a > 0 ; а 1

1) аx > 0 при всех а > 0 и x R;

2) при а > 1 функция у= ах возрастает, т.е. если a>1 и <=> x1 > x2;

3) при 0< a < 1 функция у = ах убывает, т.е. если 0 < a < 1 и <=> x1 < x2.

Рекомендации к теме

При решении показательных неравенств используются те же приемы, что при решении показательных уравнений.

Будьте внимательны: показательная функция в зависимости от основания может быть возрастающей (а>1) или убывающей (0

Примеры.

1. Неравенства, сводящиеся к простейшим. Решаются приведением обеих частей неравенства к степени с одинаковым основанием.

а)2x2> 2 x+2.

Решение:

2x2> 2 x+2;
х2 > х+2, т.к.функция y =2t возрастает,
х2 – х–2 > 0;
x < – 1; x > 2.

Ответ:.

б).

Решение:

Ответ:

2. Неравенства, решаемые с помощью вынесения за скобки общего множителя.

8 × 2х – 1 – 2х > 48

Решение:  2х–1 (8 – 2) > 48,

 2х–1  > 8,

 2х–1  > 23,

 х – 1 > 3, т.к. функция y = 2tвозрастает,

 х > 4.

Ответ:

3. Неравенства, решаемые с помощью замены переменной.

2х + 23 – х < 9

Решение:

а) 2х< 0. Неравенство решений не имеет, т.к. 2х > 0.

б) 1 < 2х< 8; 20 < 2х < 23; 0 < x < 3, т.к. функция y = 2х возрастает.

Ответ: (0; 3).