Определение. Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

a || b (прямая а параллельна прямой b)

прямая с и прямая а не параллельны
прямая с и прямая b не параллельны
рис. 8

Теорема о параллельных прямых. Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.

Ma

b||а и Мb (b - единственная)
рис. 9

Определение. Два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых.

отрезок СD || отрезку АВ
рис. 10

Свойства параллельных прямых

Свойство 1. Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.



рис. 11

Свойство 2. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.



рис. 12

Определение. Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.

Признак скрещивающихся прямых.

Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.



рис. 13
a
b = K
Ka
=> a и b - скрещивающиеся прямые.

Выводы:

Случаи взаимного расположения прямых в пространстве.

рис. 14. Пересекающиеся прямые (лежат в одной плоскости). рис. 15. Параллельные прямые (лежат в одной плоскости). рис. 16. Скрещивающиеся прямые (не лежат в одной плоскости).

Замечания:



  1. рис. 17

    лучи ОА и О1А1 сонаправлены
    лучи А2В2 и О2В2 сонаправлены
    лучи О3А3 и О1А1 не являются сонаправленными

    рис. 18
    ОА || О1А1
    ОВ || О1 В1, то угол АОВ равен углу А1О1В1
    (углы с сонаправленными сторонами)
  2. Угол между прямыми.

    рис. 19

    Если - меньший из всех образованных углов, то угол (a; b) =

    рис. 20
    а и b - скрещивающиеся прямые.
    М - произвольная точка пространства, через которую проведём прямые а1||а и b1||b
    Если угол (а1 ; b1 ) = , то угол (а ;b ) =


Рекомендации к теме

Тема "Аксиомы стереометрии" играет важную роль в развитии пространственных представлений, поэтому старайтесь привлекать больше моделей (картон и спицы), рисунков.

В теме "Параллельность в пространстве" даются знания о параллельности прямых и плоскостей в пространстве. В данном материале обобщаются известные из планиметрии сведения о параллельности прямых. На примере теоремы о существовании и единственности прямой, параллельной данной, Вы получаете представление о необходимости заново доказать известные из планиметрии факты в тех случаях, когда речь идет о точках и прямых пространства, а не о конкретной плоскости.

Задачи на доказательство решаются во многих случаях по аналогии с доказательством теорем. Для решения задач на вычисление длин отрезков необходимо провести повторение курса планиметрии: равенства и подобия треугольников, определений, свойств и признаков прямоугольника, параллелограмма, ромба, квадрата, трапеции.