1. Тетраэдр: поверхность, составленная из четырёх треугольников DАВ, DВС, DАС и АВС.

    рис. 27

    АВС, DАС, DВС, DАВ - грани.
    отрезки DА, DВ, АВ и т.д. - рёбра.
    точки А, В, С и т.д. - вершины.

    Рёбра АD и ВС - противоположные.

    Считается АВС - основание, остальные грани - боковые.

  2. Параллелепипед. АВСDA1B1C1D1: поверхность, составленная из двух равных параллелограммов АВСD и A1B1C1D1, лежащих в параллельных плоскостях и четырёх параллелограммов.

    рис. 28

    все параллелограммы - грани, их стороны - рёбра, их вершины - вершины параллелепипеда.

    Считается: АВСD и A1B1C1D1 - основания, остальные грани - боковые.

    рис. 29
    Отрезок, соединяющий противоположные вершины, называется диагональю параллелепипеда:
    A1C, D1B, AC1, DB1.


    Свойства:

    1. Противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны.
    2. Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

  3. Сечения. Секущая плоскость тетраэдра (параллелепипеда) - любая плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного тетраэдра (параллелепипеда). Секущая плоскость пересекает грани тетраэдра (параллелепипеда) по отрезкам. Многоугольник, сторонами которого являются эти отрезки, называется сечением тетраэдра (параллелепипеда).

Задача 1. Точки М, N и Р лежат соответственно на рёбрах АВ, ВD и СD тетраэдра АВСD. Построить сечение тетраэдра плоскостью МNР. (рис. 30)


рис. 30

Задача 2. На рёбрах параллелепипеда даны три точки А, В и С. Построить сечение параллелепипеда плоскостью АВС. (рис. 31)


рис. 31

Примеры решения задач.

Задача 1. Из точки А к плоскости проведены два отрезка АС и АВ = 9 см, точка D АВ, точка Е АС, DЕ || и АЕ/ЕС = 1/2. Найти отрезки АD и DВ.


рис. 32

Решение:

1) Так как прямые АВ и АС пересекающиеся, то по следствию 2 из аксиом существует плоскость (АВС), пусть .

2) По аксиоме 3 = ВС. По аксиоме 2 DЕ принадлежит , а т.к. DЕ||, то DЕ||ВС.

3) По теореме Фалеса АЕ/ЕС = АD/DВ. Пусть АD = х и DВ = 9-х, тогда 1/2 = x/(9-х), 9-х = 2х, х=3, т.е. АD = 3 см, DВ = 9-3 = 6 (см).

Ответ: АD = 3 см, DВ = 6 см.

Задача 2.

рис. 33

Дано: DАВС - тетраэдр, A1, B1, C1 - середины рёбер АD, СD и ВD.

Доказать: (АВС) || (A1B1C1)
Доказательство:
  1. По аксиоме 2 A1C1 принадлежит (А D С), а т.к. A1 и C1 - середины АD и DС, то A1C1 - средняя линия АDС => A1C1 || АС по свойству средней линии.
  2. Аналогично рассуждая, получаем: A1B1 || АВ.
  3. По признаку параллельности плоскостей (АВС) || (A1B1C1).

Рекомендации к теме

Тема "Аксиомы стереометрии" играет важную роль в развитии пространственных представлений, поэтому старайтесь привлекать больше моделей (картон и спицы), рисунков.

В теме "Параллельность в пространстве" даются знания о параллельности прямых и плоскостей в пространстве. В данном материале обобщаются известные из планиметрии сведения о параллельности прямых. На примере теоремы о существовании и единственности прямой, параллельной данной, Вы получаете представление о необходимости заново доказать известные из планиметрии факты в тех случаях, когда речь идет о точках и прямых пространства, а не о конкретной плоскости.

Задачи на доказательство решаются во многих случаях по аналогии с доказательством теорем. Для решения задач на вычисление длин отрезков необходимо провести повторение курса планиметрии: равенства и подобия треугольников, определений, свойств и признаков прямоугольника, параллелограмма, ромба, квадрата, трапеции.