Теория:

Перед тем, как начать подробное ознакомление с формулами преобразования тригонометрических выражений поясним, для чего  вообще нужны преобразования тригонометрических выражений. 
 
Дело в том, что очень часто тригонометрические выражения даже самого "устрашающего" вида после несложных преобразований достаточно легко приводятся к выражениям с табличным значением аргумента - таким, например, как : 30°(π6),45°(π4),60°(π3)  ... или к таким выражениям, решение которых найти гораздо проще, чем решение исходного тригонометрического выражения. 
 
В этом и заключается основная цель преобразования тригонометрических выражений - привести заданное выражение к такому виду, чтобы найти его решение было проще.
 
А средством для достижения этой цели - её "инструментом" - и являются формулы преобразования тригонометрических выражений,
знакомство с которыми мы начнем с изучения наиболее важных из них - формул синуса и косинуса суммы аргументов.
 
Именно эти формулы считаются основными и наиболее важными формулами преобразования тригонометрических выражений, поскольку из этих формул без особого труда выводятся практически все формулы тригонометрии.
 
Доказательство самих формул синуса и косинуса суммы аргументов технически достаточно сложно и оно не входит в базовый курс обучения. 
 
Примечание. Для краткости и упрощения в дальнейшем исключим слово "аргументов" из названий формул - это общепринятая практика - и говоря о формулах синуса или косинуса суммы (разности) будем понимать, что это формулы синуса или косинуса суммы (разности)  аргументов этих функций. 
 
Формула синуса суммыsin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny        (1)
 
Формула косинуса суммы:  cos(x+y)=cosxcosysinxsiny       (2)
 
Рассмотрим теперь выражение sin(xy)  в таком виде   sin(x+(y)) и воспользуемся формулой синуса суммы (1) : sin(x+(y))=sinxcos(y)+cosxsin(y).
 
Теперь вспомним о свойстве чётности функции косинусcos(y)=cosy
и свойстве нечётности функции синус:   sin(y)=siny.
 
Тогда :
sin(x+(y))=sinxcos(y)+cosxsin(y)=sinxcosycosxsiny
 
Формула синуса разностиsin(xy)=sinxcosycosxsiny    (3)
Аналогично, представив cos(xy) в виде  cos(x+(y)), воспользуемся формулой косинуса суммы (2) 
и свойствами чётности функции косинусcos(y)=cosy
и нечётности функции синус:   sin(y)=siny
 
Тогда получим:
cos(x+(y))=cosxcos(y)sinxsin(y)=cosxcosy+sinxsiny
 
Формула косинуса разностиcos(xy)=cosxcosy+sinxsiny   (4)