Теория:

Рассмотрим бесконечную геометрическую прогрессию b1,b2,b3,...,bn,....

Bычислим суммы двух, трех, четырех и т. д. членов прогрессии:

S1=b1S2=b1+b2S3=b1+b2+b3...Sn=b1+b2+b3+...+bn...

Получилась последовательность S1,S2,S3,...,Sn,....

Как всякая числовая последовательность, она может сходиться или расходиться.

Если последовательность Sn сходится к пределу S, то число S называют суммой геометрической прогрессии (обратите внимание: не суммой n членов геометрической прогрессии, а суммой геометрической прогрессии).

Если же эта последовательность расходится, то о сумме геометрической прогрессии не говорят, хотя о сумме первых n членов геометрической прогрессии можно, разумеется, говорить и в этом случае.

Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии:

если Sn=b1+b2+...+bn, то Sn=bn(qn1)q1.

Если знаменатель q геометрической прогрессии (bn) удовлетворяет неравенству q<1, то сумма прогрессии Sсуществует и вычисляется по формуле  limnSn=b11q.