Теория:

Задача 1 (о скорости движения). По прямой, на которой заданы начало отсчета, единица измерения (метр) и направление, движется некоторое тело (материальная точка). Закон движения задан формулой \(s=s(t)\), где \(t\) — время (в секундах), \(s(t)\) — положение тела на прямой (координата движущейся материальной точки) в момент времени \(t\) по отношению к началу отсчета (в метрах). Найти скорость движения тела в момент времени \(t\) (в \(м/с\)).

Решение . Предположим, что в момент времени \(t\) тело находилось в точке \(M\).

1 uzd..bmp

Дадим аргументу \(t\) приращение Δt и рассмотрим ситуацию в момент времени t+Δt. Координата материальной точки станет другой, тело в этот момент будет находиться в точке P:OP=st+Δt.

 Значит, за Δt секунд тело переместилось из точки \(M\) в точку \(P\). Имеем: MP=OPOM=st+Δts(t). Полученную разность мы назвали в приращением функции: st+Δts(t)=Δs. Итак, MP=Δs(м). Нетрудно найти среднюю скорость vср движения тела за промежуток времени t;t+Δt: vср=ΔsΔt \((м/с)\).

 А что такое скорость \(v(t)\) в момент времени \(t\) (ее называют мгновенной скоростью)? Можно сказать так: это средняя скорость движения за промежуток времени t;t+Δt при условии, что Δt выбирается все меньше и меньше; точнее: при условии, что Δt0. Это значит, что v(t)=limΔt0vср.

Итак,

v=limΔt0ΔsΔt

Задача 2 (о касательной к графику функции). Дан график функции \(y=f(x)\). На нем выбрана точка \(M(a;f(a))\), в этой точке к графику функции проведена касательная (мы предполагаем, что она существует). Найти угловой коэффициент касательной.

2.uzd.05.T.bmp

 Решение . Дадим аргументу приращение Δx и рассмотрим на графике точку \(P\) с абсциссой a+Δx. Ордината точки \(P\) равна fa+Δx. Угловой коэффициент секущей \(MP\), т. е. тангенс угла между секущей и осью \(x\), вычисляется по формуле kсек=ΔyΔx.

 Если мы теперь устремим Δx к нулю, то точка \(P\) начнет приближаться по кривой к точке \(M\). Касательную мы охарактеризовали как предельное положение секущей при этом приближении. Значит, естественно считать, что угловой коэффициент касательной kкас=limΔx0kсек будет вычисляться по формуле kкас=limΔx0kсек. Используя приведенную выше формулу для kсек, получаем:

kкас=limΔx0ΔyΔx