Теория:

Предел отношения приращения функции к приращению аргумента, если приращение аргумента стремится к нулю (и этот предел существует), называется производной этой функции
y=limΔx0f(x+Δx)f(x)Δx
(Часто вместо f(x+Δx)f(x) пишется Δy.)
Итак, limΔx0ΔyΔx=f(x).
Иногда используются обозначения f(x) или dydx.
Пример:
1) (x+13)=limΔx0(x+Δx+13)(x+13)Δx=limΔx0ΔxΔx=limΔx01=1
 
 
2)1x=limΔx01x+Δx1xΔx=limΔx0xxx+Δxx+Δxxx+ΔxΔx==limΔx0Δxxx+ΔxΔx=limΔx01xx+Δx=1x2
 

Физический (механический) смысл производной состоит в следующем. Если \(s(t)\) — закон прямолинейного движения тела, то производная выражает мгновенную скорость в момент времени \(t\):

v=s(t).

Геометрический смысл производной состоит в следующем. Если к графику функции \(y=f(x)\) в точке с абсциссой \(x=a\) можно провести касательную, не параллельную оси \(y\), то f(a) выражает угловой коэффициент касательной:

k=f(a).

pieskare.bmp

Поскольку k=tgα, то верно равенство f(a)=tgα.

Алгоритм нахождения производной для функции \(y=f(x)\)
1. Зафиксировать значение \(x\), найти \(f(x)\).
2. Дать аргументу \(x\) приращение Δx, перейти в новую точку x+Δx, найти fx+Δx.
3. Найти приращение функции: Δy=fx+Δxf(x).
4. Составить отношение ΔyΔx.
5. Вычислить limΔx0ΔyΔx. Этот предел и есть f(x) .