Теория:

Производная функции в точке x0 равна коэффициенту направления касательной функции \(f(x)\) в точке (x0;f(x0)).
 
Доказательство.
Касательная графика функции в точке  M0 описывается как прямая, к которой стремится прямая MM0, если точка M перемещается по графику функции, стремясь к точке M0. Обозначим точку M0 как (x0;f(x0)) (см. рисунок).
ziim.png
 
Коэффициент направления прямой MM0 равен тангенсу угла MM0N:
kMM0=tgMM0N=MNM0N=f(x0+Δx)f(x0)Δx
Стремление точки M к точке M0 - то же самое, что стремление приращения аргумента Δx к нулю.
 
Наконец, используя определение производной, получается, что коэффициент направления касательной равен производной функции в соответствующей точке.
k=limMM0kMM0=limxx0f(x0+Δx)f(x0)Δx=f(x0)