Теория:

1. Исследование выпуклости графика функции
График функции \(f(x)\) имеет на \((a,b)\) выпуклость, направленную вниз (вверх), если он расположен не ниже (не выше) любой касательной к графику функции на \((a,b)\).
 
Если функция \(f(x)\) имеет на интервале \((a,b)\) вторую производную и f(x)0
(f(x)0) во всех точках \((a,b)\), то график функции \(f(x)\) имеет на \((a,b)\) выпуклость, направленную вниз (вверх).
 
Пример:
Определить выпуклости функции f(x)=x3+x.
 
Вторая производная этой функции, это f(x)=6x. Она отрицательна, если \(x<0\), положительна, если \(x>0\).
Значит, график \(f(x)\) в интервале ;0 имеет выпуклость, направленную вверх и в интервале 0;+ имеет выпуклость, направленную вниз.
2. Нахождение точек перегиба функции  
Чтобы определить точки перегиба функции \(f(x)\), нужно найти точки, в которых вторая производная этой функции является нулем или не существует (и которые принадлежат области определения функции). Тогда можно определить знак второй производной функции в соответствующих интервалах - вычислив значения второй производной в какой-либо точке интервала.
Если вторая производная функции в точке меняет знак, эта точка является точкой перегиба, если не меняет, не является точкой перегиба.
Пример:
Рассмотрим функцию f(x)=x3+x.
 
Вторая производная этой функции, это f(x)=6x. Она отрицательна, если \(x<0\), и положительна, если \(x>0\). Значит, в точке \(x=0\) вторая производная меняет знак и эта точка - точка перегиба функции.
tema 09.bmp