Теория:

Формулы вычисления пределов последовательностей:

1. limn1n=0

2. limnqn=0,q<1

3. limnC=C, т.е. предел стационарной последовательности равен значению любого члена последовательности.

4. Если limnxn=b, limnyn=c, то

          4.1. предел суммы равен сумме пределов:

          limn(xn+yn)=b+c,

          4.2. предел произведения равен произведению пределов:

          limn(xnyn)=bc,

          4.3. предел частного равен частному пределов:

          limnxnyn=bc, если c0,

          4.4. постоянный множитель можно вынести за знак предела:

          limnkxn=kb.

 

5. Для любого натурального показателя m и любого коэффициента k справедливо соотношение limnknm=0.

Пример:

1. Найти предел последовательности:

xn=2n5n2+3

Применив правило "предел суммы", получим:

limn2n5n2+3=limn2nlimn5n2+limn3=00+3=3

2. Вычислить limn2n2+3n2+4

В подобных случаях применяют искусственный прием: делят числитель и знаменатель дроби почленно на наивысшую из имеющихся степень переменной n. В данном примере разделим числитель и знаменатель дроби почленно на n2. Получим:

limn2n2n2+3n2n2n2+4n2=limn2+3n21+4n2=

Далее воспользуемся правилом "предел дроби (частного)":

=2+01+0=21=2

Итак: limn2n2+3n2+4=2.