Теория:

Свойство 1. Если последовательность сходится, то только к одному пределу.
 
Свойство 2. Если последовательность сходится, то она ограничена.
 
Свойство 3. (Теорема Вейерштрасса)
Если последовательность монотонна и ограничена, то она сходится.
 
Приведем классический пример из геометрии, в котором используется теорема Вейерштрасса.
 
Возьмем окружность и будем последовательно вписывать в нее правильные многоугольники:
4-угольник, 8-угольник, 16-угольник и т. д. Последовательность площадей этих правильных многоугольников возрастает и ограничена (снизу числом 0, а сверху, например, числом, выражающим площадь описанного около окружности квадрата).
 
Значит, построенная последовательность сходится, ее предел принимается за площадь круга.
 
Именно с помощью таких рассуждений и получена в математике формула площади кругаS=πr2