Теория:

Рассмотрим функцию, график которой изображён на рисунке:

grafiks.bmp

 

Для заданного случая предел функции y=f(x) при стремлении \(x\) к \(a\) равен \(b\). Записывают: limxaf(x)=b

Содержательный смысл приведенной выше записи заключается в следующем:
если значения аргумента выбираются все ближе и ближе к значению \(x=a\), то значения функции все меньше и меньше отличаются от предельного значения \(b\).

Можно сказать и так:
в достаточно малой окрестности точки \(a\) справедливо приближенное равенство f(x)b (причем это приближенное равенство тем точнее, чем меньшая окрестность выбирается).

При этом, подчеркнем, сама точка \(x=a\) исключается из рассмотрения.

Функцию y=f(x) называют непрерывной в точке \(x=a\), если выполняется соотношение:

limxaf(x)=f(a)

 Иными словами, функцию  y=f(x) называют непрерывной в точке \(x=a\), если предел функции y=f(x) при стремлении \(x\) к \(a\) равен значению функции в точке \(x=a\).

Функцию y=f(x) называют непрерывной на промежутке \(X\), если она непрерывна в каждой точке промежутка.

Eсли выражение \(f(x)\) составлено из рациональных, иррациональных, тригонометрических и обратных тригонометрических выражений, то функция y=f(x) непрерывна в любой точке, в которой определено выражение \(f(x)\).