Теория:

Рассмотрим несколько видов записи предела функции на бесконечности.

1. Дана функция y=f(x), в области определения которой содержится луч a;+), и пусть прямая \(y=b\) является горизонтальной асимптотой графика функции y=f(x).
В этом случае используется запись: limx+f(x)=b 

(читают: предел функции y=f(x) при стремлении \(x\) к плюс бесконечности равен \(b\)).

2.  Если дана функция y=f(x), в области определения которой содержится луч (;a, и прямая \(y=b\) является горизонтальной асимптотой графика функции y=f(x), то в этом случае используется запись: limxf(x)=b

(читают: предел функции y=f(x) при стремлении \(x\) к минус бесконечности равен \(b\)).

3. Если одновременно выполняются соотношения:

limx+f(x)=b и limxf(x)=b, то можно объединить их одной записью: limx±f(x)=b

Но обычно используют более экономную запись: limxf(x)=b

(читают: предел функции y=f(x) при стремлении \(x\) к бесконечности равен \(b\)). 

В этом случае прямая \(y=b\) является горизонтальной асимптотой графика функции y=f(x) как бы с двух сторон.

Вычисление предела функции на бесконечности осуществляется по тем же правилам, что и вычисление предела последовательности. Приведём их (с соответствующими изменениями).

1. Для любого натурального показателя \(m\) и любого коэффициента \(k\) справедливо соотношение:

limxkxm=0

  

2. Если limxf(x)=b, limxg(x)=c, то

а) предел суммы равен сумме пределов:

lim(xf(x)+g(x))=b+c;

б) предел произведения равен произведению пределов:

lim(xf(x)g(x))=bc;

в) предел частного равен частному пределов ( разумеется, при условии, что c0):

limxf(x)g(x)=bc;

г) постоянный множитель можно вынести за знак предела:

lim(xkf(x))=kb.