Теория:

Расположим числовую окружность в координатной плоскости так, чтобы центр окружности совместился с началом координат, а её радиус принимаем за единичный отрезок.
Начальная точка числовой окружности \(A\) совмещена с точкой \((1;0)\).
 
един окр.31.png
 
Каждая точка числовой окружности имеет в координатной плоскости свои координаты.
 
Найдём сначала координаты тех точек координатной плоскости, которые получены на макетах числовой окружности.
един окр.6.png
ТочкаMπ4 середина \(I\) четверти.
Опустим перпендикуляр \(MP\) на прямую \(OA\) и рассмотрим треугольник \(OMP\).
Так как дуга \(AM\) составляет половину дуги \(AB\), то MOP=45° 
 
Значит, треугольник \( OMP \) - равнобедренный прямоугольный треугольник и \(OP = MP\), т.е. у точки \(M\) абсцисса и ордината равны: \(x = y\).
 
Так как координаты точки \(M(x;y)\) удовлетворяют уравнению числовой окружности x2+y2=1,
то для их нахождения нужно решить систему уравнений:
x2+y2=1x=y 
 
Подставив \(x\) вместо \(y\) в первое уравнение системы, получим следующее решение:
 
x2+x2=12x2=1x2=12x=12=22y=x=22
 
При решении учитываем, что абсцисса точки \(M\) положительна.
Получили, что координаты точки \(M\), соответствующей числу π4 будут   Mπ4=M22;22
Аналогично можно получить координаты и других точек первого макета числовой окружности, учитывая только знаки координат в каждой четверти.
Полученные результаты запишем в таблицу:
Точка окружности.
 
\(0\)
π4
π2
3π4
π
5π4
3π2
7π4
2π
Абсцисса \(x\)
\(1\)
22
\(0\)
22
\(-1\)
22
\(0\)
22
\(1\)
Ордината \(y\)
\(0\)
22
\(1\)
22
\(0\)
22
\(-1\)
22
\(0\)
 
Рассуждаем аналогично для точки \(M\), если теперь она соответствует числу π6.
 
един окр.5.png
Треугольник \(MOP\) прямоугольный. Так как дуга \(AM\) составляет третью часть дуги \(AB\), то MOP=30°.
 
Катет \(MP\) лежит против угла \(30\) градусов в прямоугольном треугольнике, значит, равен половине гипотенузы, т.е. ордината точки \(M\) равна
 MP=12y=12
 
Абсциссу \(x\) точки \(M\) найдём, решив уравнение:
 
x2+y2=1
x2=1122=114=34x=32
 
При решении учитываем, что абсцисса точки \(M\) положительна.
Получили, что координаты точки \(M\), соответствующей числу π6 будут  Mπ6=M32;12  
Аналогично можно получить координаты и других точек второго макета числовой окружности, учитывая только знаки координат в каждой четверти.
Полученные результаты запишем в таблицу:
Точка окружности.
 
π6
π3
2π3
5π6
7π6
4π3
5π3
11π6
Абсцисса \(x\)
32
12
12
32
32
12
12
32
Ордината \(y\)
12
32
32
12
12
32
32
12