Теория:

Точки A и C получены поворотом точки \((1;0)\) на углы α и α соответственно.
rin1.png
Единичная окружность.
 
Абсциссы этих точек совпадают, а ординаты отличаются только знаками, т.е. sin(α)=sinαиcos(α)=cosα
Следовательно, функция y=sinx является нечётной функцией, а y=cosx - чётной функцией. Так как функция y=tgx=sinxcosx, то будет верно равенство tg(x)=tgx, т.е. функция y=tgx - нечётная функция.
 
Функция y=fx называется периодической, если существует такое число  T0, что для любого x из области определения этой функции выполняется равенство fxT=fx=fx+T
 
Число T называется периодом функции  fx
Из этого определения следует, что если x принадлежит области определения функции fx, то числа xT;x+T;x+Tn,n также принадлежат области определения этой периодической функции и fx+Tn=fx,n.
 
Вращая точку A вокруг центра единичной окружности в положительном или отрицательном направлении, замечаем что она вернётся к исходному положению, только угол поворота будет на2π больше или меньше, но координаты точки A останутся теми же, т.е.
sinα=sinα+2π;cosα=cos(α+2π) 
Значит, число 2π является наименьшим положительным периодом для функций y=sinx и y=cosx.
Число π является наименьшим положительным периодом для функции y=tgx, так как значение тангенса угла поворота будет повторяться через  π радиан.
Источники:
Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. и др. Алгебра и начала анализа : учеб. для 10-11 кл. - М. : Просвещение, 2007.