Теория:

Рассмотрим испытание, в котором вероятность наступления случайного события \(A\) равна \(P(A)\).

Обрати внимание!

Нам известна формула P(A)+P(A¯)=1, где A¯ — событие, противоположное событию \(A\).

Значит, P(A¯)=1P(A). Будем рассматривать исходное испытание как испытание только с двумя возможными исходами: один состоит в том, что событие \(A\) произойдёт, а другой состоит в том, что событие \(A\) не произойдёт, т. е. произойдёт событие A¯. Для краткости назовём первый исход (наступление события \(A\)) «успехом», а второй исход (наступление события A¯) — «неудачей». Вероятность «успеха» обозначим P(A)=p, а вероятность «неудачи» обозначим q;q=P(A¯)=1P(A)=1p.

Схема Бернулли

Рассматривают \(n\) независимых повторений одного и того же испытания с двумя возможными исходами: «успехом» и «неудачей». Вероятность «успеха» равна \(p\), а вероятность «неудачи» равна \(q\), \(p+q=1\). Требуется найти вероятность Pn(k) того, что в этих \(n\) повторениях произойдёт ровно \(k\) «успехов».

Про \(n\) независимых повторений одного и того же испытания с двумя возможными исходами более кратко говорят, как об \(n\) испытаниях  Бернулли. Точный ответ на поставленный вопрос даёт следующая теорема.

Теорема Бернулли

Вероятность Pn(k) наступления ровно \(k\) «успехов» в \(n\) независимых повторениях одного и того же испытания вычисляется по формуле Pn(k)=Cnkpkqnk, где \(p\) — вероятность «успеха», а \(q=1-p\) — вероятность «неудачи» в отдельном испытании.

Пример:

Каждый из четырёх приятелей выучил ровно \(5\) вопросов из \(20\) заданных к зачёту. На зачёте они отвечали в разных аудиториях и получали вопросы независимо друг от друга. Найти вероятность того, что:

а) каждому достался тот вопрос, который он выучил;

б) никому не достался вопрос, который он выучил;

в) только одному из приятелей достался тот вопрос, который он не выучил;

г) хотя бы одному из приятелей достался тот вопрос, который он выучил.

Решение. Если кому-то достался известный ему вопрос, то это «успех». Вероятность «успеха» у каждого из приятелей, готовившихся к зачёту, одна и та же: она равна 520=0,25. Поэтому можно считать, что мы имеем дело с \(n=4\) испытаниями Бернулли с вероятностью «успеха» в отдельном испытании \(p=0,25\).

а) В этом случае \(k=n=4\) и поэтому P4(4)=C44p4q44=0,2540,004

б) В этом случае \(k=0\) и поэтому P4(0)=C40p0q40=0,7540,316

в) Здесь \(k=3\) и поэтому P4(3)=C43p3q43=40,2530,750,047

г) Событие, противоположное заданному, состоит в том, что никому из приятелей не достался известный ему вопрос, т. е. что произошло \(k=0\) «успехов». Вероятность такой общей неудачи уже посчитана в пункте б). Значит, нужная нам вероятность равна 1P4(0)=10,7540,684

Теорема

Наиболее вероятное число «успехов» в \(n\) испытаниях Бернулли приближённо равно \(np\), где \(p\) — вероятность «успеха» в отдельном испытании.

Сформулируем следующее правило.

Для того чтобы найти наивероятнейшее число kнаивер «успехов» в \(n\) испытаниях Бернулли с вероятностью «успеха» равной \(p\), следует:

1) вычислить число \(np\);

2) от числа \(np\) на координатной прямой отложить \(q\) влево и \(p\) вправо;

3) целое число, лежащее на отрезке npq;np+p единичной длины, и будет равно kнаивер; если таких целых чисел два, то kнаивер может равняться любому из них.