Теория:

Предположим, что из колоды в \(36\) карт извлекается одна карта и рассматриваются: событие \(A\) — извлечена карта трефовой масти, событие \(B\) — извлечена дама треф. Между событиями \(A\) и \(B\) очевидно наличие какой-то зависимости. Действительно, из \(9\) случаев, благоприятствующих событию \(A\), событию \(B\) благоприятствует один; поэтому при наступлении события \(A\) вероятность события \(B\) равна 19. Но при отсутствии информации о наступлении события \(A\) вероятность события \(B\) оценивается как равная 136. Так как 19>136 , то очевидно, что наступление события \(A\) повышает шансы события \(B\). 

События \(A\) и \(B\) называются независимыми, если появление одного из них не меняет вероятности появления другого. Событие \(A\) называется зависимым от события \(B\) если вероятность события \(A\) меняется в зависимости от того, произошло событие \(B\) или нет.

Часто о независимости событий удаётся судить на основании того, как организован опыт, в котором они происходят. Независимые события появляются тогда, когда опыт состоит из нескольких независимых испытании (как, например, было в рассмотренном опыте с бросанием двух игральных костей). Если независимость испытаний не очевидна, то независимость событий \(A\) и \(B\) проверяется с помощью формулы:

События \(A\) и \(B\) называют независимыми, если выполняется равенство P(AB)=P(A)P(B)

Пример:

Рассмотрим опыт с бросанием двух игральных костей и исследуем два события: \(A\) — на первой кости выпало \(5\) очков, \(B\) — на второй кости выпало \(5\) очков. Выясним, будут ли события \(A\) и \(B\) независимыми.

Появление любого числа очков на первой кости (в частности, наступление события \(A\)) не влияет на событие \(B\) и на его вероятность. И наоборот, наступление или не наступление события \(B\) не влияет на вероятность события \(A\). Таким образом,

P(A)=16  и P(B)=16

Событие \(AB\) состоит в совместном наступлении событий \(A\) и \(B\). Элементарные исходы испытания — это пары чисел, в которых на первом месте стоит число очков первой кости, на втором — число очков второй кости. Всего элементарных исходов испытания n=66=36. Среди них присутствует лишь одна пара (\(5\) и \(5\) очков), благоприятствующая событию \(AB\), т. е. m=1. Таким образом,

P(AB)=136=1616=P(A)P(B), т. е. события \(A\) и \(B\) независимые.

Источники:
Алгебра и начала математического анализа. 10 — 11 классы : учеб. для общеобразоват. учреждений : базовый уровень / [Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, М. В. Ткачёва и др.]. — 18-е изд. — М .: Просвещение, 2012. — 464 с .