Теория:

salabota_bilde.PNG
 
Биноминальная формула Ньютона:
a+bn==Cn0anb0+Cn1an1b1+Cn2an2b2+Cn3an3b3+...+Cnkankbk+Cnn1a1bn1+Cnna0bn
 
Правая часть формулы называется разложением степени бинома.
Cnk — называется биномиальными коэффициентами, а все слагаемые — членами бинома.
Биномиальные коэффициенты — это те числа, которые составляют треугольник Паскаля. 
 
Сумма биномиальных коэффициентов равна 2n.
  
a+b0=1a+b1=1a+1ba+b2=1a2+2ab+1b2a+b3=1a3+3a2b+3ab2+1b3a+b4=1a4+4a3b+6a2b2+4ab3+1b4   C00=1Cnn=1Cn1=n
Пример:
1. Напиши разложение степени бинома.
x2y6=x+(2y)6==x6+6x5(2y)+15x4(2y)2+20x3(2y)3+15x2(2y)4++6x(2y)5+(2y)6==x612x5y+60x4y2160x3y3+240x2y4192xy5+64y6
  
2. Вычисли средний член разложения (3a+b)6
Решение:
В разложении \(6 + 1 = 7\) членов, значит, средний член — четвёртый.
 
T4=T3+1=C63(3a)63b3=65432127a3b3=540a3b3
 
3. Вычислите член разложения (x2+1x)12, который содержит x3  
Решение:
Tk+1=C12kx212kx1k=C12kx242kxk=C12kx243k
 
Если член содержит x3, то x243k=x3243k=3; k=2433=7
Значит, это k+1=7+1=8. член.
 
T8=C127x3=C125x3=1211109854321x3=95040120x3=792x3
 
Ответ: \(8\) член разложения равен 792x3
  
«Бином» с греческого языка переводится как «двучлен».
Источники:
Алгебра и начала математического анализа. 10 — 11 классы : учеб. для общеобразоват. учреждений : базовый уровень / [Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, М. В. Ткачёва и др.]. —18-е изд. — М .: Просвещение, 2012. — 464 с