Теория:

Для любых значений \(n\) и \(m\) (0mn) действительно равенство Cnm=Cnnm
Зная данное свойство, можно ускорить решение задач.
Пример:
В магазине \(7\) разных маек. Галя хочет примерить \(2\) майки, а Аня хочет примерить \(5\). Сколько существует возможностей каждой из девочек каждый раз выбрать новый комплект для примерки?
У Гали C72=7!2!72!=765!215!=21 возможностей выбрать майки, а у Ани — C75 возможностей.
Так как C75=C775=C72,то без вычислений понятно, что у обоих девочек одинаковое количество возможностей: \(105\).
Для числа сочетаний в силе свойство: Cn+1m=Cnm1+Cnm,(1mn)
 
Например,  C31=C20+C21;C32=C21+C22.
 
Для любого допустимого значения \(n\) в силе Cn0=1Cnn=1
 
Используя два последних свойства, из сочетаний можно составить треугольник Паскаля.
  
Треугольную таблицу принято называть треугольником Паскаля (в честь французского математика 17 в.). Данный треугольник был известен уже во втором веке до нашей эры в древней Индии. В XII веке он появился в работах математиков Китая. В Европе в XVI веке его описал немецкий математик М. Штифель и затем Паскаль в XVII веке.

Треугольник Паскаля состоит из числовых строчек (см. рисунок). В первой строчке одно число, во второй — два, в третьей — три, и т.д. Первое и последнее число каждой строчки равно \(1\). Каждое из остальных чисел равно сумме двух расположенных над ним чисел предыдущей строки.
 
paskāls2.bmp
 
Треугольник Паскаля с сочетаниями:
 
Pask3.bmp
 
Используя треугольник Паскаля, можно сделать вывод, что сложив числа в любой строчке треугольника Паскаля, можно получить степень числа \(2\).
Cn0+Cn1+...+Cnn1+Cnn=2n,еслиn=0;1;2;3;...
Источники:
Алгебра и начала математического анализа. 10 — 11 классы : учеб. для общеобразоват. учреждений : базовый уровень / [Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, М. В. Ткачёва и др.]. —18-е изд. — М .: Просвещение, 2012. — 464 с