Теория:

В вазе лежит \(5\) яблок, \(4\) груши и \(3\) мандарина. Сколько существует возможностей взять один фрукт из вазы?
 
Если взять яблоко, то существует \(5\) возможностей,
если взять грушу, то существует \(4\) возможности,
если взять мандарин, то существует \(3\) возможности.
Значит, чтобы взять один фрукт из всех лежащих в вазе, существует \(5 + 4 + 3 = 12\) возможностей.
 
Этот пример можно обобщить.
 
Допустим, что есть две группы: в одной \(k\) различных элементов, во второй \(n\) различных элементов. Если из первой группы какой-либо элемент можно выбрать \(k\) способами, а из второй \(n\) способами, то выбрать один элемент из первой или второй группы можно \(k + n\) способами.
Это называется законом сложения в комбинаторике. Закон сложения также используется, если нужно выбрать элемент из трёх, четырёх и т.д. групп.
 
Закон сложения используется тогда, когда нужно выбрать только \(1\) элемент.
Чтобы использовать закон сложения:
1. нужно понять, каковы группы, из которых нужно выбрать \(1\) элемент;
2. нужно выяснить количество элементов в каждой группе;
3. нужно убедиться, что в различных группах, из которых выбирают элемент, нет одинаковых элементов.
 
Пример:
Вика должна выбрать только один десерт из \(8\) видов коктейля, \(5\) видов мороженого и \(5\) видов йогурта. Сколькими способами она может выбрать десерт?
Решение:
Используется закон сложения, т.к. Вика должна выбрать или коктейль, или мороженое, или йогурт.
\(8 + 5 + 5 = 18\)
Ответ: Вика может выбрать десерт \(18\) способами.
При использовании закона сложения надо следить, чтобы ни один из способов выбора объекта \(a\) не совпадал с каким-либо способом выбора объекта \(b\).
Если такие совпадения есть, то закон сложения утрачивает силу, и мы получаем лишь \((k + n - m)\) способов выбора, где \(m\) — число совпадений.
Итак:
Если объект \(a\) можно получить \(k\) способами, объект \(b\) — \(n\)  способами, то объект \(«a\) или \(b»\) можно получить \(k+n-m\) способами, где \(m\) — это количество повторяющихся способов.
Пример:
В группе \(7\) человек имеют «5» по математике, \(9\) человек — «5» по философии. В сессии \(2\) экзамена. Известно, что \(4\) человека сдали сессию отлично. Сколько человек имеют хотя бы одну пятерку в сессии?
Решение: \(7+9-4=12\)
Источники:
Комбинаторика. Виленкин Н.Я.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1969.— 323 с