Теория:

Очень многие события в нашей жизни являются следствием совместного влияния большого числа мелких факторов.
 
Например, время в пути на работу зависит от пробок, светофоров, пешеходов, и.т.д. Все эти факторы, накладываясь друг на друга, и дают итоговое время в пути.
 
Но если постоянно ездить на работу, то вырабатывается некоторое среднее время. Такая устойчивость к сильным отклонениям от среднего связана с тем, что среди всего множества независимо действующих мелких факторов будут как факторы, уменьшающие время в пути, так и факторы, увеличивающие это время.
 
Уменьшающие и увеличивающие факторы взаимно погашают друг друга, поэтому суммарное отклонение от среднего невелико.
 
При этом чрезвычайно важны две вещи:
  1. все действующие факторы не должны быть сильными,
  2. все действующие факторы должны быть независимыми.
 
Математической формулировкой этого принципа является закон больших чисел.
Для каждого положительного числа \(r\) при неограниченном увеличении числа \(n\) независимых повторений испытания с двумя исходами вероятность того, что частота \(k/n\) появления «успеха» отличается менее чем на \(r\) от вероятности \(p\) «успеха» в одном отдельном испытании, стремится к единице.
Т.е. среднее арифметическое многих независимых случайных величин сходится к некоторому значению при увеличении числа этих величин.
 
Механизм этого прежний — отклонения вправо и влево взаимно погашаются. Именно на этом принципе основано то, что многократное повторение одного и того же приводит к почти предсказуемому результату.
 
Существует способ приближённых вычислений вероятности Pn(k) наступления \(k\) «успехов» в \(n\) независимых повторениях эксперимента с помощью гауссовой функции.
 
Для гауссовой функции имеются подробные таблицы её значений. Эти таблицы составлены для значений аргумента \(x\) с шагом \(0,01\).

Опишем способ использования гауссовой кривой для приближённых вычислений в теореме Бернулли.

Алгоритм использования функции y=ϕ(x) в приближённых вычислениях.

Для вычисления вероятности Pn(k) следует:

  • проверить справедливость неравенства \(npq >10\);
  • вычислить xk по формуле xk=knpnpq;
  • по таблице значений гауссовой функции вычислить ϕxk;
  • предыдущий результат разделить на npq.

Pn(k)=ϕxknpq

Вероятности Pn(k), как правило, весьма малы. Поэтому при большом числе \(n\) в схеме Бернулли для числа \(k\) «успехов» устанавливают не одно точное значение, а некоторые рамки, в пределах которых разрешено меняться числу \(k\).

Вероятность того, что число «успехов» \(k\) в \(n\) испытаниях Бернулли находится в пределах от k1 до k2 обозначают так: Pn(k1kk2)

gauss2.png

График функции y=Φ(x):

gauss3.png

Алгоритм использования функции \(y= Ф(x)\) в приближённых вычислениях:

  • проверить справедливость неравенства \(npq ≥ 10\);
  • вычислить x1 и x2 по формулам:
     x1=k1npnpq;x2=k2npnpq
  • по таблице вычислить значения  Φx1 и Φx2;
  • найти разность Φx2Φx1
    Pnk1kk2Φx2Φx1