Теория:

 Допустим, что на плоскости \(Oxy\) дана фигура, которую ограничивает отрезок \([a,b]\), принадлежащий прямой \(Ox\), прямые \(x=a\), \(x=b\) и график неотрицательной функции \(f(x)\) в отрезке \([a,b]\)
noteiktais_integraalis.png
 
Площадь этой фигуры можно вычислить, используя формулу  S=F(b)F(a), где \(F(x)\) является первообразной функции \(f(x)\) (т.е., F(x)=f(x))
Пример:
Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиком функции y=lnx в интервале \([1,2]\).
 
Сначала находится первообразная данной функции (используется метод интегрирования по частям):
lnxdx=u=lnxdu=dxxdv=1v=x=udv=uvvdu==lnxxx1xdx=xlnxdx=xlnxx+C
Значит, первообразная функция  F(x)=xlnxx, а значение площади  S=F(2)F(1)=2ln221ln11=2ln21