Теория:

Число \(e\) — иррациональное, т. е. представляет собой бесконечную десятичную непериодическую дробь: \(e = 2,7182818284590...\); на практике обычно полагают, что e2,7.

График функции y=ex изображён на рисунке:

eksponent.bmp

Это экспонента, отличающаяся от других экспонент (графиков показательных функций с другими основаниями) тем, что угол между касательной к графику в точке \(x = 0\) и осью абсцисс равен 45°.

Свойства функции y=ex:

1) D(f)=(;+);

2) не является ни чётной, ни нечётной;

3) возрастает;

4) не ограничена сверху, ограничена снизу;

5) не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений;

6) непрерывна;

7) E(f)=(0;+);

8) выпукла вниз;

9) дифференцируема.

Формула для отыскания производной функции y=ex: ex=ex

Пример:

Вычислить значение производной функции y=e4x12 в точке \(x = 3\).

Решение . Воспользуемся правилом дифференцирования функции y=f(kx+m), согласно которому y=kf(kx+m), и тем, что ex=ex. Получим:

y=e4x12=4e4x12y(3)=4e4312=4e1212=4e0=4

Ответ: \(4\).