Теория:

Решением неравенстваf(x)>g(x) называют всякое значение переменной \(x\), которое обращает заданное неравенство с переменной в верное числовое неравенство.
Термин решение используют в трёх смыслах: как общее решение, как частное решение и как процесс.
 
Определение 1. 
Два неравенства с одной переменной f(x)>g(x) и p(x)>h(x) называют равносильными, если их решения (т.е. множества частных решений) совпадают.
Использование знака \(>\) непринципиально, может быть любой другой знак неравенства как строгого, так и нестрогого.
 
Определение 2.
Если решение неравенства f(x)>g(x)      \((1)\)
содержится в решении неравенства  p(x)>h(x),    \((2)\)
то неравенство \((2)\) называют следствием неравенства \((1)\).
Неравенство x2>9 является следствием неравенства 2x>6.В самом деле, решив каждое неравенство, получим:
x29>0(x3)(x+3)>0x(;3)(3;+)           и                                2x>6x>3x(3;+)
 
interv5.png interv6.png
Решение второго неравенства является частью решения первого, поэтому первое неравенство — следствие второго неравенства. 
 
Решение неравенств, встречающихся в школьном курсе, основано на шести теоремах о равносильности:
Теорема 1.
Если какой-либо член неравенства перенести из одной части неравенства в другую с противоположным знаком, оставив знак неравенства без изменения, то получится неравенство, равносильное данному.
Теорема 2.
Если обе части неравенства возвести в одну и ту же нечётную степень, оставив знак неравенства без изменения, то получится неравенство, равносильное данному.
Теорема 3.
Показательное неравенство af(x)>ag(x) равносильно:
 
а) неравенству того же смысла f(x)>g(x), если \(a>1\);
б) неравенству противоположного смысла f(x)<g(x), если \(0<a<1\)
Теорема 4.
a) Если обе части неравенства f(x)>g(x) умножить на одно и то же выражение \(h(x)\), положительное при всех \(x\) из области определения (области допустимых значений переменной) неравенства f(x)>g(x), оставив при этом знак неравенства без изменения, то получится неравенство f(x)h(x)>g(x)h(x), равносильное данному.
 
б) Если обе части неравенства f(x)>g(x) умножить на одно и то же выражение \(h(x)\), отрицательное при всех \(x\) из области определения неравенства f(x)>g(x), изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится неравенство f(x)h(x)<g(x)h(x), равносильное данному.
Теорема 5.
Если обе части неравенства f(x)>g(x) неотрицательны в области его определения (в ОДЗ), то после возведения обеих частей неравенства в одну и ту же чётную степень \(n\) получится неравенство того же смысла f(x)n>g(x)n, равносильное данному.
Теорема 6.
Если f(x)>0 и g(x)>0, то логарифмическое неравенство logaf(x)>logag(x) равносильно:
 
а) неравенству того же смысла f(x)>g(x), если \(a>1\);
б) неравенству противоположного смысла f(x)<g(x), если \(0<a<1\).