Теория:

Решением уравнения с двумя переменными \(p(x;y)=0\) называют всякую пару чисел \((x;y)\), которая обращает уравнение в верное числовое равенство. 
Уравнение с двумя переменными обычно имеет бесконечно много решений.
Пример:
Уравнению x2+y2=9 удовлетворяет любая пара \((x;y)\) такая, что точка координатной плоскости \(M(x;y)\) принадлежит окружности радиусом \(3\) с центром в начале координат.
Если дано целое рациональное уравнение с несколькими переменными и целочисленными коэффициентами и если поставлена задача найти его целочисленные (или рациональные) решения, то говорят, что задано диофантово уравнение.
Пример:
Найти целочисленные решения уравнения 3x+4y=19
Выразим \(x\) из данного уравнения: x=194y3
При делимости числа \(y\) на \(3\) могут быть три возможности:
1) \(y = 3k\),
2) \(y = 3k+1\),
3) \(y = 3k+2\).
 
Если \(y = 3k\), то получим 194y=1943k=1912k. Это число на \(3\) не делится, т.к. \(12k\) делится на \(3\), а \(19\) не делится на \(3\).
Если \(y = 3k+1\), то получим 194y=1943k+1=1912k4=1512k=354k.
Это число на \(3\) делится.
Если \(y = 3k+2\), то получим 194y=1943k+2=1912k8=1112k. Это число на \(3\) не делится.
 
Значит, единственная возможность целочисленного решения уравнения есть пара чисел \((5-4k;3k+1)\), где \(k\) — любое целое число.
Решением неравенства  \(p(x;y)>0\) называют всякую пару чисел \((x;y)\), которая удовлетворяет этому неравенству, т.е. обращает его в верное числовое неравенство.
Пример:
Решить неравенство \(2x+3y>0\).
Построим график уравнения \(2x+3y=0\) — прямую.
Решением неравенства являются точки полуплоскости выше или ниже построенной прямой.
Для правильного определения нужной полуплоскости выберем любую точку из неё, координаты которой подставим в данное неравенство.
 
Если неравенство будет верным, то полуплоскость выбрана верно.
 
lineara nevienad.png
 
Выбрав контрольную точку \((1;1)\) из верхней полуплоскости, получим верное числовое неравенство:  21+31>0
Значит, решением данного неравенства является верхняя полуплоскость.
 
Аналогично можно рассуждать при решении системы неравенств с двумя переменными.
Решить систему неравенствс двумя переменными — значит найти множество всех таких точек координатной плоскости, координаты которых удовлетворяют одновременно всем неравенствам системы.