Теория:

Математическая модель - это способ описания реальной жизненной ситуации (задачи) с помощью математического языка.
Представим такую ситуацию: в школе три седьмых класса.
В \(7А\) учатся \(15\) девочек и \(13\) мальчиков,
в \(7Б\) учатся \(12\) девочек и \(12\) мальчиков,
в \(7В\) учатся \(9\) девочек и \(18\) мальчиков.
 
Отвечая на вопрос, сколько учеников в каждом из седьмых классов, придётся три раза осуществлять одну и ту же операцию сложения:
в \(7А\)      15+13=28 учеников;
в \(7Б\)      12+12=24 ученика;
в \(7В\)      9+18=27 учеников.
 
Используя математический язык, можно все эти три разные ситуации объединить:  в классе учатся \(a\) девочек и \(b\) мальчиков. Значит, всего учеников \(a + b\).
Такова математическая модель данной реальной ситуации.
 
В следующей таблице приведены различные реальные ситуации и их математические модели; при этом \(a\) - число девочек в классе, \(b\) – число мальчиков в том же классе.
Реальная ситуацияМатематическая модель
1В классе девочек и мальчиков поровну (как в \(7Б\))
\(a = b\)
2Девочек на \(2\) больше, чем мальчиков (как в \(7А\))
\(a – b = 2\)
или \(a = b + 2\)
или \(a – 2 = b\)
3Девочек на \(9\) меньше, чем мальчиков (как в \(7В\))
\(b – a = 9\)
или \(b = a + 9\)
или \(a = b - 9\)
 
Зачем нужна математическая модель реальной ситуации, что она даёт, кроме краткой выразительной записи?
Чтобы ответить на этот вопрос, решим следующую задачу.
Пример:
В классе девочек вдвое больше, чем мальчиков. Если из этого класса уйдут три девочки и придут три мальчика, то девочек будет на \(4\) больше, чем мальчиков. Сколько учеников в данном классе?
Решение:
Пусть \(x\) – число мальчиков в классе, тогда \(2x\) – число девочек. Если уйдут три девочки, то останется \((2x-3)\) девочек. Если придут три мальчика, то станет \((x+3)\) мальчиков. По условию девочек будет тогда на \(4\) больше, чем мальчиков; на математическом языке это записывается так: 2x3x+3=4
Это уравнение – математическая модель задачи. Используя известные правила решения уравнений, последовательно получаем:
2x3x+3=42x3x3=4x6=4x=10
Теперь мы можем ответить на вопрос задачи – в классе \(10\) мальчиков, а значит, \(20\) девочек, так как их было в два раза больше.
Ответ: в классе всего \(30\) учеников.
Можно заметить, что в ходе решения было выделено три этапа рассуждений.
 
Первый этап.Составление математической модели.
Была введена переменная \(x\) и текст задачи переведён на математический язык, т.е. была составлена математическая модель задачи – в виде уравнения 2x3x+3=4
 
Второй этап.Работа с математической моделью.
Здесь было решено уравнение до простого ответа \(x=10\).
 
Третий этап.Ответ на вопрос задачи.
Используя полученное на втором этапе решение, ответили на вопрос задачи.
 
Рассмотренную в примере математическую модель называют алгебраической моделью.
Построить график температуры воздуха, если известно, что температуру измеряли в течение суток и по результатам измерения составили следующую таблицу:
Время суток,ч\(0\)\(2\)\(4\)\(6\)\(8\)\(10\)\(11\)\(14\)\(16\)\(18\)\(22\)\(24\)
Температура, °C\(5\)\(0\)\(0\)\(-3\)\(-4\)\(-2\)\(0\)\(6\)\(8\)\(5\)\(3\)\(3\)
 
Решение:
Построим прямоугольную систему координат. По горизонтальной оси (ось абсцисс) будем откладывать значение времени, а по вертикальной оси (ось ординат) – значения температуры. Построим на координатной плоскости точки, координатами которых являются соответствующие числа из таблицы. Всего получается \(12\) точек.
 
7kl.png
 
Соединив их плавной линией, получим один из возможных графиков температуры.
 
7kl.1.png
 
Построенный график есть математическая модель, описывающая зависимость температуры от времени. Анализируя этот график, можно описать словами, что происходило с температурой воздуха в течение суток.
Рассмотренную в примере математическую модель называют графической моделью.
Итак, математические модели бывают:
1) словесные - реальные ситуации описывают словами;
2) алгебраические - в виде равенств с переменными, в виде уравнений (как в первом примере);
3) графические - в виде графиков зависимости переменных;
4) геометрические - в курсе геометрии.
Важно для решения задач научиться переходить от одной модели к другой. Так, в первом примере, от словесной модели перешли к алгебраической модели, а во втором примере, от словесной модели перешли к графической модели.