Теория:

Прямую \(l\), на которой выбрана начальная точка \(О\) (начало отсчёта), масштаб (единичный отрезок, т.е. отрезок, длина которого считается равной \(1\)) и положительное направление, называют координатной прямой или координатной осью.
11.png
 
Каждому числу на координатной прямой соответствует единственная точка.
 
Например, числу \(2\) соответствует точка \(А\), которая удалена от начала отсчёта, т.е. от точки \(О\), на расстояние, равное \(2\) (в заданном масштабе), и отложена от точки \(О\) в заданном (положительном) направлении.
Числу \(-2\) соответствует точка \(М\), которая удалена от начала отсчёта, т.е. от точки \(О\), на расстояние, равное \(2\) (в заданном масштабе), и отложена от точки \(О\) в отрицательном направлении, т.е. в направлении, противоположном заданному.      
 
12.png
 
Верно и обратное, т.е. точка \(N\), удалённая от точки \(О\) на расстояние \(3,5\) в положительном (заданном) направлении, соответствует числу \(3,5\), а точка \(М\), удалённая от точки \(О\) на расстояние \(2\) в отрицательном направлении, соответствует числу \(-2\).
Указанные числа называют координатами соответствующих точек.
Итак, точка \(A\) имеет координату \(2\);
          точка \(N\) имеет координату \(3,5\);
          точка \(М\) имеет координату \(-2\);
          точка \(О\) имеет координату \(0\).
Записываем это так: \(A\)(\(2\)); \(N\)(\(3,5\)); \(М\)(\(-2\)); \(О\)(\(0\)).
 
Можно найти расстояние между двумя точками на координатной прямой. Имеем две точки: \(A(a)\) и \(B(b)\). Расстояние \(AB =\)|ab|
Используя эту формулу, получим, что
AN=|23,5|=|1,5|=1,5AM=|22|=|2+2|=4
 
Координатная прямая даёт возможность свободно переходить с алгебраического языка на геометрический и обратно.
 
1. Пусть на координатной прямой отмечена точка \(a\).
Отметим (закрасим) на координатной прямой все точки, расположенные правее точки \(a\).
54.2.png
 
Это множество точек (чисел) называют открытым лучом и обозначают a;+.
Оно характеризуется неравенством x>a, где \(x\) - любая точка открытого луча.
Если точку \(a\) присоединить к открытому лучу, то получится луч.
54.3..png
Луч обозначаем a;+ и характеризуем неравенством xa.
 
 
2. Если отметим (закрасим) на координатной прямой все точки, расположенные левее точки \(a\),
54.4..png
то множество точек (чисел) также называют открытым лучом и обозначают ;a и характеризуют неравенством x<a.
Если точку \(a\) присоединить к открытому лучу, то также получится луч.
54.5..png
Луч обозначаем ;a и и характеризуем неравенством xa.
 
 
3. Отметим на координатной прямой точки \(a\) и \(b\), причём \(a < b\) (т.е. точка \(a\) расположена на прямой левее точки \(b\)).
 54.6..png
Полученное множество точек (чисел) называют интервалом и обозначают \((a; b)\) и характеризуют двойным неравенством \(a<x<b\).
Если к интервалу \((a; b)\) добавить его концы
54.7..png,
то получится отрезок a;b, который характеризуется нестрогим двойным неравенством axb.
 
 
4. Если к интервалу \((a; b)\) добавить один из его концов
54.9..png 
 (справа или слева),
54.8..png
то получится полуинтервал, который обозначают a;b или a;b и характеризуют с помощью двойных неравенств: ax<b и a<xb.
 
Итак, введены пять новых терминов: луч, открытый луч, интервал, отрезок, полуинтервал. Общее их название - числовые промежутки.
Сама координатная прямая также числовой промежуток, который обозначают ;+.