Теория:

Для того, чтобы сократить алгебраическую дробь, нужно числитель и знаменатель разложить на множители. Если окажется, что числитель и знаменатель имеют общие множители, то их можно сократить.
Приемы разложения многочленов на множители:
- вынесение общего множителя за скобку;
- использование тождеств сокращённого умножения;
- способ группировки.
Пример:
 
001.PNG
- дробь сокращена на двучлен
 \((m + 2)\) 
002.PNG
- числитель и знаменатель дроби разложены  на множители, и дробь сокращена на общий множитель \((x - y)\)
003.PNG- числитель и знаменатель дроби разложены  на множители, и дробь сокращена на \((a - b)\)
004.PNG
- числитель дроби разложен на множители при помощи формулы квадрата суммы, в знаменателе общий множитель вынесен за скобку; затем дробь сокращена на общий множитель
\((m + n)\).
Тождества сокращённого умножения, которые можно использовать при сокращении дробей
Разность квадратов a2b2=(ab)(a+b);
Квадрат суммы (a+b)2=a2+2ab+b2;
Квадрат разности (ab)2=a22ab+b2;
Сумма кубов a3+b3=(a+b)(a2ab+b2);
Разность кубов a3b3=(ab)(a2+ab+b2).
 
Пример:
Сократи дробь x24x24x+4.
Решение:
1. Числитель и знаменатель дроби раскладываем на множители, используя формулы разности квадратов и квадрата разности:
x24x24x+4=(x2)(x+2)(x2)2
                     1211.PNG
      
2. Сокращаем дробь на общий множитель - двучлен \((x-2)\).
 
005.PNG
 
 Преобразуй дробь 2x+2 таким образом, чтобы в знаменателе было 3x212.
 
Решение:
1. Чтобы понять, как расширить дробь 2x+2, выражение 3x212 раскладываем на множители:
3x212=3(x24)=3(x2)(x+2)
 
2. Сравниваем полученное выражение со знаменателем дроби \(x+2\) и делаем вывод, что дополнительным множителем этой дроби является \(3(x-2)\).
 
006.PNG
 
 
 Упрости выражение 2x3+166x212x+24.
Решение:
1. В числителе за скобки выносим общий множитель \(2\), а в знаменателе - общий множитель \(6\):
2x3+166x212x+24=2(x3+8)6(x22x+4)
 
2. Выражение x3+8 раскладываем на множители, используя формулу суммы кубов, затем дробь сокращаем.
007.PNG