Теория:

Некоторые символы математического языка
Тебе хорошо известны натуральные числа: \(1, 2, 3, 4...\).
Множество всех натуральных чисел обычно обозначают буквой .
 
Если к натуральным числам присоединить число \(0\) и все целые отрицательные числа: \(-1,-2,-3,-4, ...,\) — то получится множество целых чисел. Это множество обычно обозначают буквой .
 
Если к множеству целых чисел присоединить все обыкновенные дроби: 23;12;83 и т. д., — то получится множество рациональных чисел. Это множество обычно обозначают буквой .
 
Любое целое число \(m\) можно записать в виде дроби m1, поэтому справедливо утверждение о том, что множество  рациональных чисел — это множество,  состоящее из чисел вида mn;mn, где \(m, n\) — натуральные числа и числа \(0\).
 
Используя введённые обозначения , , , условимся о следующем:
1. Вместо фразы «\(n\) — натуральное число» можно писать n (читается: «элемент \(n\) принадлежит множеству »).
2. Вместо фразы «\(m\) — целое число» можно писать m.
3. Вместо фразы «\(r\) — рациональное число» можно писать r.
 
Понятно, что  — часть множества , а  — часть множества . Для описания этой ситуации в математике также имеется специальное обозначение: ,.
Обрати внимание!
Математический символ  называют знаком принадлежности (элемент принадлежит множеству).
Математический символ  называют знаком включения (одно множество cодержится в другом).
 
Вообще, в математике запись xX означает, что \(x\) — один из элементов множества \(X\). Запись AB означает, что множество \(A\) представляет собой часть множества \(B\). Математики чаще говорят так: \(A\) — подмножество множества \(B\).
Обрати внимание!
Множества в математике обычно обозначают прописными буквами, а элементы множества — строчными буквами.
А как записать, что элемент \(x\) не принадлежит множеству \(X\) или что множество \(A\) не является частью (подмножеством) множества \(B\)? Используют те же символы, но перечеркнутые косой чертой: xX;AB.
Рациональные числа как бесконечные десятичные периодические дроби
Для всех этих чисел можно использовать один и тот же способ записи, который мы сейчас и обсудим.
Рассмотрим, например, целое число \(5\), обыкновенную дробь 722 и десятичную дробь \(8,377\).
 
Целое число \(5\) можно записать в виде бесконечной десятичной дроби: \(5,0000...\) Десятичную дробь\( 8,377\) также можно записать в виде бесконечной десятичной дроби: \(8,377000...\) Для числа 722 воспользуемся методом «деления углом»:
 scot.png
Как видишь, начиная со второй цифры после запятой происходит повторение одной и той же группы цифр: \(18, 18, 18, ... \). Таким образом, 722\(= 0,3181818...\) . Короче это записывают так: \(0,3(18)\).
Повторяющуюся группу цифр после запятой называют периодом, а саму десятичную дробь — бесконечной десятичной периодической дробью.
Между прочим, и число \(5\) можно представить в виде бесконечной десятичной дроби. Для этого надо в периоде записать число \(0\):
\(5 = 5,00000... = 5,(0)\).
Обрати внимание!
Вообще, любое рациональное число можно записать в виде бесконечной десятичной периодической дроби.
Этот вывод удобен для теории, но не очень удобен для практики. Ведь если дана конечная десятичная дробь \(8,377\), то зачем нужна ее запись в виде 8,377(0)?
 
Поэтому обычно говорят так: любое рациональное число можно записать в виде конечной десятичной дроби или в виде бесконечной десятичной периодической дроби.
 
Выше мы показали, как обыкновенную дробь представляют в виде бесконечной периодической десятичной дроби. Верно и обратное: любую бесконечную десятичную периодическую дробь можно представить в виде обыкновенной дроби.
Это значит, что любая бесконечная десятичная периодическая дробь есть рациональное число.