Теория:

Рациональные уравнения могут служить математическими моделями реальных ситуаций.
Пример:
Перегон в \(60\) км поезд должен был проехать с постоянной скоростью за определенное расписанием время. Простояв у семафора перед перегоном \(5\) мин, машинист вынужден был увеличить скорость прохождения перегона на \(10\) км/ч, чтобы наверстать к окончанию прохождения перегона потерянные \(5\) мин. С какой скоростью поезд должен был пройти перегон по расписанию?
 
 Первый этап. Составление математической модели.
 
Пусть \(x\) км/ч — скорость поезда по расписанию.
Так как протяженность перегона равна \(60\) км, то время, отведённое расписанием на прохождение перегона, составляет 60x ч.
Фактически поезд прошел перегон в \(60\) км со скоростью \((x + 10)\) км/ч, значит, время, затраченное на прохождение перегона, равно 60x+10 ч.
 
Из двух величин — 60x ч и 60x+10 ч первая больше второй на \(5\) мин, т. е. на 112 ч.
Значит, мы приходим к уравнению 60x60x+10=112
 
Математическая модель задачи составлена. Это рациональное уравнение.
 
Второй этап. Работа с составленной моделью.

Имеем 60x60x+10112=0
 
Преобразуем левую часть уравнения
60(12(x+10)x6012xx+101x(x+10)12=720(x+10)720xx(x+10)12x(x+10)=x210x+720012x(x+10)
 
Приравняв числитель этой дроби к нулю, получим квадратное уравнение x210x+7200=0 или, переходя к более удобной записи, x2+10x7200=0
 
Применяя известную формулу, находим
x1,2=10±1024172002=10±289002=10±1702
 
x1=10+1702=80;x2=101702=90
 
Оба значения удовлетворяют условию 12x(x+10)0, следовательно, эти значения — корни составленного рационального уравнения.
 
 Третий этап. Ответ на вопрос задачи.
 
Спрашивается, с какой скоростью поезд должен был пройти перегон по расписанию?
Именно эту величину мы обозначили буквой \(x\). Получилось, что либо \(x=80\), либо  \(x=-90\).  Второе значение нас явно не устраивает, поскольку скорость движения поезда не может выражаться отрицательным числом. Значит, выбираем значение \(x = 80\), это и есть ответ на вопрос задачи.
Ответ: \(80\) км/ч.
Сделаем некоторые комментарии к выполненному решению.
1. Конечно, рассмотренная ситуация несколько идеализирована: вряд ли в реальной жизни поезд пройдёт весь перегон с постоянной скоростью, ведь всегда есть и ускорения, и замедления. Но на такую идеализацию математикам приходится идти сознательно.
 
2. В очередной раз обращаю твоё внимание на то, что мы воспользовались привычной схемой рассуждений: составление математической модели, работа с составленной моделью, ответ на вопрос задачи.
 
3. Подчеркнем, что первый этап, т. е. составление математической модели — ключевой в  решении задачи. На этом этапе осуществляется  перевод условия задачи с обыденного языка на  математический язык, т. е. выполняется серьёзная творческая работа. Серьёзная работа проводится и на втором этапе, но эта работа не творческая, а чисто техническая, поскольку, действуя по алгоритму, особенно думать не приходится.
 
Вернёмся к рассмотренной задаче и проанализируем, как осуществляется перевод с обыденного языка на математический.
 
Искомую величину мы обозначили буквой \(x\). Это дало нам возможность оперировать с искомой скоростью, ведь с точки зрения алгебры не важно, имеем ли мы дело с числами или с буквами.
 
Зная путь \((60 км)\) и скорость (\(x\) км/ч) и использовав физический закон равномерного движения \(s = vt\) (\(s\) — путь, \(v\) — скорость, \(t\) — время), мы нашли время, предусмотренное расписанием, оно выражается дробью 60x ч.
 
По условию, перегон был пройден со скоростью, на \(10\) км/ч большей, чем предполагалось расписанием. Перевод этого условия на математический язык дал следующее: \((x + 10)\) км/ч — фактическая скорость прохождения перегона, а 60x+10 ч — фактическое время движения поезда по перегону в \(60\) км.
 
Далее, согласно условию, на рассматриваемом перегоне поезд выиграл, по сравнению с расписанием, \(5\) мин, т. е. 112 ч.
Иными словами, время, предусмотренное расписанием ( 60x ч ), больше фактического времени ( 60x+10 ч ) на  112 ч.
 
На математическом языке это означает, что  60x60x+10=112 (из большей величины вычли меньшую и получили указанную в условии разность).
 
Обрати внимание!
Сравнивать надо величины одного и того же наименования
(в данном уравнении — это часы).