Теория:

Комбинаторика — раздел математики о вычислении количества различных комбинаций каких-либо элементов.
В заданиях по комбинаторике обычно нужно выяснить, возможно ли составить комбинацию определённого вида и сколько различных комбинаций можно составить.
 
Пример:
1. Сколько различных трёхзначных номеров телефона можно составить из пяти цифр? (Ответ: \(125\))
 
2. Сколькими различными способами можно составить танцевальную пару, если в коллективе \(3\) мальчика и \(4\) девочки? (Ответ: \(12\)).
 
3. Сколькими различными способами можно образовать пару дежурных, если в классе остались Надя, Вика, Саша и Юра? (Ответ: \(6\)).
 
4. Сколькими различными способами можно выбрать двух учеников (одного - чистить доску, второго - подметать пол), если в классе остались Надя, Вика, Саша и Юра?  (Ответ: \(12\))
Один из способов решения задач комбинаторики — это рассмотреть все возможные комбинации элементов, что называется полным перебором вариантов.
 
Древовидная диаграмма
Древовидная диаграмма — один из способов показать и систематизировать все размещения. С помощью древовидной диаграммы осуществляется полный перебор.
Сколько различных двузначных чисел можно составить из цифр \(1\), \(2\) и \(3\), если каждую использовать только один раз?
Решение:
Составляется древовидная диаграмма:
diagramma_1.PNG
Ответ: можно составить \(6\) различных чисел.
 
Пример:
Рассмотрим 3-й пример (см. выше):
Сколькими различными способами можно образовать пару дежурных, если в классе остались Надя, Вика, Саша и Юра?
 
diagramma_2.PNG
На древовидной диаграмме видно, что можно образовать только \(6\) пар дежурных (Надя и Вика, Надя и Саша, Надя и Юра, Вика и Саша, Саша и Юра, Вика и Юра), т.к. каждая пара повторяется \(2\) раза.
 
Рассмотрим 4-й пример: 
Сколькими различными способами можно выбрать двух учеников (одного — чистить доску, второго — подметать пол), если в классе остались Надя, Вика, Саша и Юра?
 
Используется та же древовидная диаграмма, но в данном случае ответ будет \(12\) пар, т.к. каждая пара из диаграммы отличается. Если детей поменять местами, они выполняют уже другие функции.
С помощью древовидной диаграммы были получены различные результаты, т.к. в 3 и 4 примере были рассмотрены различные виды комбинаций: сочетания и размещения.
 
Такого рода диаграммы в подробностях удобно рисовать только для сравнительно небольшого числа вариантов, а, например, для сотен комбинаций дерево вариантов целиком не нарисуешь. Тогда приходится действовать по-другому. Чаще всего при различных подсчетах используют правило умножения:

Для того чтобы найти число всех возможных исходов независимого проведения двух испытаний \(А\) и \(В\), следует перемножить число всех исходов испытания \(А\) и число всех исходов испытания \(В\). 

Таблица

В отдельных случаях для систематизации данных составляются таблицы комбинаций.
Простой игровой кубик бросается \(2\) раза и полученные пункты перемножаются. Сколько различных произведений можно получить?
 
\(1\) \(2\) \(3\) \(4\) \(5\) \(6\)
\(1\) \(1\) \(2\) \(3\) \(4\) \(5\) \(6\)
\(2\) \(2\) \(4\) \(6\) \(8\) \(10\) \(12\)
\(3\) \(3\) \(6\) \(9\) \(12\)
\(15\)
\(18\)
\(4\) \(4\) \(8\) \(12\) \(16\) \(20\) \(24\)
\(5\) \(5\) \(10\) \(15\) \(20\) \(25\) \(30\)
\(6\) \(6\) \(12\) \(18\) \(24\) \(30\) \(36\)
 
 
Различные произведения — это \(1; 2; 3; 4; 5; 6; 8; 9; 10; 12; 15; 16; 18; 20; 24; 25; 30; 36\) —  всего \(18\) различных результатов.