Теория:

Используя закон умножения, часто нужно вычислить произведения натуральных чисел по порядку, начиная с \(1\).
Например, 1234567 и т. д. Не всегда важно вычислить числовое произведение. Чтобы можно было короче записать выражения такого вида, в математике используется знак "\(!\)".
Произведение всех натуральных чисел от 1 до \(n\) называется факториалом числа n и записывается n! (читается как «эн факториал»).
n!=123...n2n1n
Принято, что \(0! = 1\)  
1!=1
2!=21=2
3!=321=6
4!=4321=24
5!=54321=120
6!=654321=720
 
Пример:
1. Вычисли значение выражения.
a) 5!+4!=54321+4321=120+24=144
 
b) 7!5!4!=7654!54!4!=54!(421)4!=541=205  (\(4!\) выносится за скобки. В дроби равные факториалы можно сокращать.)
  
c) 80!79!+59!58!=8079!79!+5958!58!=80+59=139
 
Каждый больший факториал можно выразить меньшим факториалам, т.е.,
\(n! = n(n-1)! = n(n-1)(n-2)! = n(n-1)(n-2)(n-3)!\) и т.д.
 
Пример:
2. Сократи дробь.
(n+1)!(n1)!=(n+1)n(n1)!(n1)!=(n+1)n(n1)!(n1)!=(n+1)n
 
 
3. Упрости выражение.
 n+2(n1)!2n+3n!=n+2\n(n1)!2n+3n(n1)!=n2+2n2n3n(n1)!=n23n!
 
При увеличении значения \(n\), значение \(n!\) стремительно возрастает. Знак факториала удобно использовать, если нужно записывать большие числа.
 
Пример:
Сколькими различными способами можно составить список учеников, если в нём должно быть \(25\) различных учеников?
 
123...2425=25!
 
Ответ: Список можно составить \(25!\) различными способами.