Теория:

Функцию y=f(x), x называют функцией натурального аргумента или числовой последовательностью и обозначают \(y=f(n)\) или y1,y2,y3,...,yn, ... .
 Значения y1,y2,y3,...,yn (и т. д.) называют соответственно первым, вторым, третьим (и т. д.) членами последовательности.
 
В символе  ynчисло \(n\) называют индексом, который задает порядковый номер того или иного члена последовательности. Иногда для обозначения последовательности используется запись yn.

Как известно, функция может быть задана различными способами, например аналитически, графически, словесно и т. д. Последовательности тоже можно задавать различными способами, среди которых особенно важны три: аналитический, словесный и рекуррентный.

1. Аналитическое задание последовательности

Говорят, что последовательность задана аналитически, если указана формула её \(n\)-го члена yn=f(n).

Пример:

1. yn=n2

Это аналитическое задание последовательности \(1, 4, 9, 16, ...,\)n2, ..., о которой шла речь выше.

Пример:

2. yn=C. Это значит, что речь идет о последовательности \(C, C, C, ..., C, ...,\) которую называют стационарной.

  
2. Словесное задание последовательности

Пример:

Последовательность простых чисел: \(2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ...\).

Последовательность задана словесно.

Нахождение аналитического задания последовательности по её словесному описанию часто бывает сложной (а иногда и неразрешимой) задачей.

3. Рекуррентное задание последовательности

Этот способ задания последовательности состоит в том, что указывается правило, позволяющее вычислить \(n\)-й член последовательности если известны её предыдущие члены.

При вычислении членов последовательности по этому правилу мы как бы всё время возвращаемся назад, выясняем, чему равны предыдущие члены. Такой способ задания последовательности называют рекуррентным (от лат. recurrere — возвращаться).

Чаще всего в таких случаях указывают формулу, позволяющую выразить \(n\)-й член последовательности через предыдущие, и задают один-два начальных члена последовательности.

Пример:
y1=3;yn=yn1+4, если n=2,3,4,....
Имеем,
 y1=3;y2=y1+4=3+4=7;y3=y2+4=7+4=11;y4=y3+4=11+4=15 и т.д.

Тем самым получаем последовательность \(3, 7, 11, 15, ...\).

Возрастающие и убывающие последовательности объединяют общим термином — монотонные последовательности.

Последовательность yn называют возрастающей, если каждый её член (кроме первого) больше предыдущего.
 

Последовательность yn называют убывающей, если каждый её член (кроме первого) меньше предыдущего.