Теория:
Последовательность (), в которой каждый последующий член можно найти, если предыдущий член умножить на одно и то же число \(q\), называется геометрической прогрессией.
Число \(q\) называется знаменателем геометрической прогрессии.
и т.д.
Общий член геометрической прогрессии можно вычислить, используя формулу:
\(=\), где
\(n\)- порядковый номер члена прогрессии,
- первый член последовательности,
\(q\)- знаменатель.
Пример:
Вычислить первые пять членов геометрической прогрессии и написать формулу нахождения \(n\)-го члена, если \(=\)8 и \(q = 0,5\).
\(=\)8
\(=\)\(=\)4
\(=\)\(=\)2
\(=\)\(=\)1
\(=\)\(=\)0,5
\(=\)
\(=\)
Сумма первых \(n\) членов геометрической прогрессии
Сумму первых \(n\) членов геометрической прогрессии можно найти, если вычислить её члены , , \(...\), и затем их значения сложить.
Вычисляя сумму первых \(n\) членов геометрической прогрессии, удобнее использовать
1-ю формулу:
, где
\(n\)- количество членов последовательности (порядковый номер),
- первый член последовательности,
- \(n\)-ый член последовательности,
\(q\)- знаменатель.
Решая задачи, удобнее использовать 2-ю формулу:
Пример:
Вычислить сумму первых пяти членов геометрической прогрессии, если \(= 8\) и \(q= 0,5\).
I вариант
Рассмотрев первый пример, видно:
\(= 8\), \(=\)4, \(=\)2, \(=\)1 и \(=\)0,5.
Сложив пять этих чисел, получится сумма (первых пяти членов последовательности):
\(=\)\(=\)\(+\)\(+\)\(+\)\(+\)\(=\)\(=\)15,5
II вариант
Используется 1-я формула:
, где
\(n = 5\)
\(=8\)
\(q = 0,5\)
\(=\)\(= 0,5\) (т.к. \(n = 5\))
\(=\)\(=\)15,5
III вариант
Используется 2-я формула:
\(=\)\(=\)З 15,5
Как видите, все три варианта решения приводят к одному и тому же результату.
Сумма первых пяти членов прогрессии равна \(=\)15,5.
Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия
Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия — это прогрессия, у которой \(|q| < 1\).
Пример:
Переведи периодическую дробь \(0,(8)\) в обыкновенную дробь.
Решение.
Достаточно очевидно, что \(0,(8)=0,8+0,08+0,008+…. \)Мы пришли к сумме членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом \(0,8\) и знаменателем \(0,1\). Применив формулу суммы, получаем
Осталось выполнить нужные действия с десятичными дробями:
Таким образом, бесконечная периодическая десятичная дробь \(0,(8)\) обращается в обыкновенную дробь \(8/9\). Ответ: \(0,(8)=8/9\).