Теория:

С древних времен в практической деятельности человека часто возникала потребность счета и измерения. Результаты счета предметов выражались вначале весьма примитивно: зарубки на палочках, узелки на веревках и др. С развитием письменности человек начал отображать с помощью знаков (записывать) информацию о количестве предметов на подручных материалах: глиняных табличках, папирусе, бересте и др. Таким образом, для обозначения чисел стали использовать знаки. 
Способ записи чисел с помощью письменных знаков называют системой счисления. Знаки, с помощью которых записываются числа, называют цифрами, а их совокупность — алфавитом системы счисления.
Одной из наиболее древних являлась египетская иероглифическая система счисления. В ней числа представлялись в виде отдельных знаков, например:
 
знаки.png
 
Так, число знаки2.png  означало:
 
\(100+10+10+1+1+1=123\). 
 
Существовали системы счисления, в которых для записи чисел использовались буквы алфавита, например старославянская система счисления.
 
знак3.png
 
Десятичная система счисления зародилась в Индии приблизительно в 5 в., затем она появилась в арабских рукописях. Из арабских рукописей эта система пришла в Европу в 9-12 вв. Поэтому современную десятичную систему счисления называют арабской.
 
В любой системе счисления цифры служат для обозначения чисел, называемых узловыми; остальные числа (алгоритмические) получаются в результате каких-либо операций из узловых чисел.
Пример:
У вавилонян узловыми являлись числа \(1\), \(10\), \(60\); в римской системе счисления узловые числа — это \(1\), \(5\), \(10\), \(50\), \(100\), \(500\) и \(1000\), обозначаемые соответственно  I, V, X, L, C, D, M.
Системы счисления различаются выбором узловых чисел и способами образования алгоритмических чисел. Можно выделить следующие виды систем счисления:
  • унарная система;
  • непозиционные системы;
  • позиционные системы.
Простейшая и самая древняя система — так называемая унарная система счисления.
В ней для записи любых чисел используется всего один символ — палочка, узелок, зарубка, камушек. Длина записи числа при таком кодировании прямо связана с его величиной, что роднит этот способ с геометрическим представлением чисел в виде отрезков. Именно унарная система лежит в фундаменте арифметики, и именно она до сих пор вводит первоклассников в мир счёта.
 
Унарную систему ещё называют системой бирок.
Непозиционными называются такие системы счисления, в которых каждый знак (цифра) в записи любого числа имеет одно и то же значение и не зависит от своего расположения в числе.
В большинстве непозиционных систем счисления числа образуются путём сложения узловых чисел.
В непозиционной римской системе счисления для обозначения чисел используются следующие знаки:
 
знаки4.png
 
Например, число 28.png, записанное в римской системе счисления, в десятичной системе счисления означает: \(10+10+5+1+1+1=28\).
 
Древнеегипетская и старославянская система также являются непозиционными.
Позиционными называют такие системы счисления, в которых значение каждого знака (цифры) в записи любого числа зависит от расположения (позиции) этого знака в числе. Количество цифр, используемых для записи чисел в позиционной системе счисления, называется ее \(основанием\). 
Мы используем позиционную десятичную систему счисления. Основанием этой системы является число \(10\).
Для записи любого числа в десятичной системе счисления используют десять цифр: \(0\), \(1\), \(2\), \(3\), \(4\), \(5\), \(6\), \(7\), \(8\), \(9\). Комбинируя эти цифры, можно записывать любые числа.
 
Например, цифры числа \(737\) в десятичной системе счисления являются коэффициентами его записи в виде суммы степенней числа \(10\):
 
737=7 ·102+3 ·101+7 ·100=7 ·100+3 ·10+7 ·1
 
Из этого примера  видно, что цифра \(7\) в зависимости от своей позиции в этом числе означает и \(7\) сотен, и \(7\) единиц, а цифра \(3\) означает три десятка.
Пример:
Рассмотрим десятичное число \(13456,7\). Его свёрнутая форма записи настолько привычна, что мы не замечаем, как в уме переходим к развернутой записи, умножая цифры числа на «веса» разрядов и складывая полученные произведения:
1 ·104+3 ·103+4 ·102+5 ·101+6 ·100+7 ·101