Теория:

Выпуклый многогранник называется правильным, если:
1. Все его грани равные правильные многоугольники;
2. В каждой его вершине сходится одно и то же число рёбер.
Все рёбра правильного многогранника равны, а также равны все двугранные углы, содержащие две грани с общим ребром.
 
Возникают вопросы:
1. Какие правильные многоугольники могут быть гранями правильного многогранника?
2. Сколько граней может иметь правильный многогранник?
Не существует правильного многогранника, гранями которого являются правильные многоугольники, если число их сторон \(6\) или больше, то есть правильные \(n\)-угольники, если n6.
1. У правильного \(n\)-угольника, еслиn6, углы не меньше 120°.
2. В каждой вершине многогранника должно быть не меньше трёх углов.
3. Даже при трёх углах сумма всех углов уже достигает 360°.
4. Сумма всех плоских углов при каждой вершине выпуклого многогранника меньше 360°.
 
Следовательно, не существует правильного многогранника, гранями которого являлись бы правильные \(n\)-угольники, если n6.
Только правильные треугольники, четырехугольники (квадраты) и пятиугольники могут быть гранями правильного многогранника.
 
Существуют ли правильные многогранники с такими гранями и сколько граней они имеют? Очевидно, меньшее возможное число граней — четыре.
Теорема Эйлера и правильные многогранники
Теорема Эйлера.
В любом выпуклом многограннике сумма числа граней и числа вершин на \(2\) больше числа рёбер.
С помощью теоремы Эйлера мы можем получить ответ на вопрос:
какие правильные многогранники могут существовать?
 
1. Пусть количество рёбер правильного многогранника, выходящих из одной вершины, равно \(m\), а гранями являются правильные \(n\)-угольники.
 
2. Выразим входящие в формулу Эйлера величины \(В\) (вершины) и \(Г\) (грани) через:
\(Р\) (ребра), \(m\), \(n\), где \(n\) и \(m\) — целые числа и \(m ≥ 3\), \(n =\) \(3;\) \(4\) \(или\) \(5\).

3. Так как каждое ребро соединяет две вершины, и в каждой вершине сходятся \(m\) рёбер, то \(2Р=Вm\).
Тогда В=2Рm
 
4. Так как каждое ребро многогранника содержится в двух гранях, то \(Гn = 2Р\).
Тогда Г=2Рn
 
5. Подставляя полученные выражения для \(Г\) и \(В\) в формулу Эйлера \(Г + В - Р = 2\), получаем
2Рm+2РnР=2
 
6. Поделив обе части равенства на \(2Р\), получим
1m+1n12=1Р
 
7. Решим это уравнение при полученном в предыдущем доказательстве значении \(n =\)\(3\) и найдём допустимые значения \(m\).
 1m+1312=1Р 
 
1m16=1Р
По смыслу \(Р > 0\), значит \(3 ≤ m ≤5\).

Таким образом теорема Эйлера разрешает существование следующих правильных многогранников:
1. \(m=3, n=3, P=6, Г=4\) — тетраэдр
2. \(m=3, n=4, P=12, Г=6\) — куб
3. \(m=3, n=5, P=30, Г=12\) — додекаэдр
4. \(m=4, n=3, P=12, Г=8\) — октаэдр
5. \(m=5, n=3, P=30, Г=20\) — икосаэдр
 
Доказано существование правильных многогранников:
 
тетраэдр с \(4\) гранями, \(6\) рёбрами и \(4\) вершинами:
Tetrahedron.gif
 
куб с \(6\) гранями, \(12\) рёбрами и \(8\) вершинами:
Hexahedron.gif
  
октаэдр с \(8\) гранями, \(12\) рёбрами и \(6\) вершинами:
Octahedron.gif
  
додекаэдр с \(12\) гранями, \(30\) рёбрами и \(20\) вершинами:
Dodecahedron.gif
  
икосаэдр с \(20\) гранями, \(30\) рёбрами и \(12\) вершинами:
Icosahedron.gif
Источники:
Л. С. Атанасян; В. Ф. Бутузов; С. Б. Кадомцев; Л. С. Киселева; Э. Г. Позняк "Геометрия 10 - 11 классы"
Москва, "Просвещение" 2009